$f(A)v=f(\lambda)v$ , polinomio de valores propios, prueba.

Question

7. Deja $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre $K$ y que $A:V\to V$ sea un mapa lineal. Sea $v\in V$ sea un vector propio de $A$ , digamos que $Av=\lambda v$ . Si $f$ es un polinomio en $K[t]$ , demuestran que $f(A)v=f(\lambda)v$ . Álgebra lineal, Serge Lang.

Es cierto que $A-\lambda I=0$ para que $f(A-\lambda I)=0$ ya que $f(A-\lambda I)=a_n(A-\lambda I)+...+a_0 (I-I)=0$ . Sin embargo, no puedo demostrar que $f(A)-f(\lambda I)=0\implies f(A)=f(\lambda I)$ . He intentado utilizar el siguiente teorema:

Teorema: Sea $f,g$ sean polinomios tales que $f(t)=g(t)$ para todos $t\in K$ . Escriba

$f(t)=a_nt^n+...+a_0\\g(t)=b_nt^n+...+b_0$

Entonces $a_i=b_i$ para todos $i$ .

Ya que su prueba se encuentra en el límite:

Sin embargo, el teorema asume ya que $f(t)=g(t)$ y el hecho de que t sea común a ambos polinomios no implica ciertamente su igualdad.

Preguntas :

¿Cómo puedo demostrar la afirmación? ¿Qué teorema necesito? ¿Puede alguien proporcionarme una prueba?

Gracias de antemano

Answer 1

A veces las cosas son fáciles: para $f(t)=\sum_{k=0}^n a_kt^k$ tenemos $$f(A)v=\Big(\sum_{k=0}^n a_kA^k\Big)v=\sum_{k=0}^n a_k A^k v=\sum_{k=0}^n a_k\lambda^k v=\Big(\sum_{k=0}^n a_k\lambda^k\Big)v=f(\lambda)v$$

Answer 2

Considere $f(t)=a_nt^n+\ldots+a_0$ donde $a_i\in K$ para $i=1,\ldots,n$ .

¿Recuerdas cómo $f(A)$ se define para $A\in K^{n\times n}$ ?

$$f(A)=a_nA^n+\ldots+a_0I$$

Ahora considere lo que $f(A)v$ es para un vector propio $v$ tal que $Av=\lambda v$ . Usted obtiene

$$f(A)v=\left(a_nA^n+\ldots+a_0I\right)v=a_nA^nv+\ldots a_0Iv.$$

Ahora puedes usar $Av=\lambda v$ para cambiar $A$ a $\lambda$ . Considere $A^nv=\lambda^n v$ desde $$A^nv=A^{n-1}Av=A^{n-1}\lambda v=\lambda A^{n-1}v=\lambda A^{n-2}Av=\ldots=\lambda^2A^{n-2}v=\ldots=\lambda^nv$$ y se obtiene

$$f(A)v=\ldots=a_n\lambda^nv+\ldots+a_0v=\left(a_n\lambda^n+\ldots+a_0\right)v=f(\lambda)v.$$

Answer 3

Definir $f(A) = c_0 + c_1A + c_2A^2 + \dots c_nA^n$ entonces $f(A)$ actuando en $v$ rinde $V$ como $K[x]$ módulo.

Para su pregunta,

\begin{align} f(A)v &= (c_0 + c_1A + c_2A^2 + \dots c_nA^n)(v)\\ &= c_0 + c_1Av + c_2A^2v + \dots c_nA^nv\\ &=c_0 + c_1\lambda v + c_2A(\lambda v) + \dots c_nA^{n-1}(\lambda v) \quad \text{recall $A\lambda = \lambda A$}\\ &=c_0 + c_1\lambda v + c_2(\lambda^2 v) + \dots c_n(\lambda^n v) \\ &=(c_0 + c_1\lambda + c_2\lambda^2 + \dots c_n\lambda^n)(v)\\ &=f(\lambda)v \end{align}