¿Puede el complemento de un conjunto simplemente conectado en $\bar{\mathbb{C}}$ en un conjunto abierto siempre está cubierto por una unión simplemente conectada de bolas?

Question

Creo que lo siguiente es cierto, pero me preocupa que mi intuición no dé cuenta de cosas fractales:

Dejemos que $K\subset\bar{\mathbb{C}}$ ( $\bar{\mathbb{C}}$ siendo la esfera de Riemann) sea cerrada (por tanto, compacta) y supongamos que $K$ y $K^c$ están ambos conectados (por lo tanto $K$ es el complemento de un subconjunto abierto simplemente conexo de $\bar{\mathbb{C}}$ ), y que $U\subset\mathbb{R}^2$ sea cualquier conjunto abierto que contenga $K$ . Luego hay una lista de bolas $B_1,\ldots,B_N\subset U$ tal que $\displaystyle K\subset\bigcup_{i=1}^NB_i$ y $\displaystyle\bigcup_{i=1}^NB_i$ está simplemente conectado.

Pensé que esto sería sencillo, pero ahora no estoy tan seguro.

Answer 1

Lo he resuelto; lo hacemos en dos pasos.

Supongamos que $K$ está acotado. Primera cubierta $K$ en un número finito de bolas $B_1,B_2,\ldots,B_N$ , todo ello contenido en $U$ (aplicación fácil de la compacidad y la apertura). Es fácil ver que una unión de bolas finitas tiene a lo sumo componentes finitas de su complemento. Sea $D$ sea algún componente acotado de

$$\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NB_i\right)^c.$$

Dibuja una ruta desde algún punto en $D$ a $\infty$ que no se cruza con $K$ . En la esfera de Riemann, este camino es compacto, por lo que podemos cubrirlo con un número finito de bolas $C_1,\ldots,C_M$ . Definir

$$K'=\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NB_i\right)\setminus\left(\bigcup_{i=1}^MC_i\right).$$

Haga esto para cada uno de los componentes finitamente acotados de $$\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NB_i\right)^c.$$

Entonces obtenemos un nuevo conjunto $K'\subset U$ que es la unión de un número finito de bolas menos un número finito de bolas que tiene las mismas propiedades que $K$ , es decir, que $K'$ es compacto y ambos $K'$ y ${K'}^c$ están conectados. Obsérvese también que el límite de $K'$ consiste en un número finito de piezas lisas.

Ahora que $\partial K'$ es suave a trozos, con un número finito de "trozos", es fácil demostrar que esta $K'$ tiene la propiedad deseada, y cualquier cubierta funciona para $K'$ también funcionará para $K$ .