Encontrar un documento/referencia donde también exista una solución

Question

Ya he calculado la siguiente suma: $$\sum_{k=0}^\infty{B_2(k)}=\frac{\pi^2}{3}-2\approx1.2898681336964$$ donde $B_2(k)$ es el 2º número hipergeométrico de Bernoulli de orden $k$ . Estos números se definen con la siguiente función generadora: $$\frac{x^N/N!}{e^x-1-x-...-(x^{N-1}/(N-1)!)}=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k(N)}{k!}x^k$$

Mi pregunta es la siguiente: ¿Hay alguna manera de encontrar un catálogo de números como este para ver si este número es el resultado de otros cálculos, sumas, productos, integrales, etc? Busqué en OEIS la secuencia decimal pero no estaba, pero no sabía si existían otros sitios/referencias de este tipo.

Aunque la respuesta de abajo es útil para otra forma de obtener la forma cerrada de la suma, no la necesito. Espero que alguien más tenga la respuesta que estoy buscando. Gracias.

Answer 1

Obsérvese que estamos tratando de calcular la suma $$2\sum_{k=0}^\infty [x^2] \frac{x^k/k!}{e^x-1-x-\cdots-x^{k-1}/(k-1)!}$$ que es $$2\sum_{k=0}^\infty [x^2] \frac{x^k/k!}{\sum_{q=k} \frac{x^q}{q!}}.$$

Utilice el producto de Cauchy para extraer el coeficiente: $$\frac{x^k}{k!} = \left(\sum_{q\ge k} \frac{x^q}{q!}\right) \times\left(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots\right).$$

Esto da $a_0 =1$ y $$a_0 \frac{1}{(k+1)!} + a_1 \frac{1}{k!} = 0 $$ para que $a_1 = - \frac{1}{k+1}.$

Además $$a_0 \frac{1}{(k+2)!} + a_1 \frac{1}{(k+1)!} + a_2 \frac{1}{k!} = 0$$ o $$a_0 + a_1 (k+2) + a_2 (k+1)(k+2) = 0$$ para que $a_2 = \frac{1}{(k+1)^2(k+2)}.$

Por lo tanto, estamos calculando la suma $$\sum_{k\ge 0} \frac{1}{(k+1)^2(k+2)}$$ que es por fracciones parciales $$\sum_{k\ge 0} \left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+1} +\frac{1}{(k+1)^2}\right).$$ que se evalúa como $$-1 + \zeta(2).$$ Multiplique por dos para obtener $$2\zeta(2) - 2 = \frac{\pi^2}{3} - 2.$$