Expectativa $E[e^{1/2 T}]$ donde T es el tiempo de parada con respecto al movimiento browniano

Question

Tengo una pregunta relacionada con la expectativa y el movimiento browniano.

Para $a,b > 0$ definimos el tiempo de parada $T_{a,b}= \inf \{t \geq 0: B_t < bt-a \}. $

Tengo que demostrar que para $b=1$ : $E[e^{1/2 T_{a,1}}] = e^a.$

Estoy un poco confundido de cómo empezar esto, porque normalmente tenía problemas donde $T$ es golpear el tiempo, pero aquí $B_t < bt-a$ No estoy seguro de cómo hacerlo. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Elaboración: Abreviar $T=T_{a,1}$ y $Z_t=\exp(B_t-t/2)$ . No hay duda de que $P[T<\infty]=1$ . Porque $Z=(Z_t)$ es una martingala, también lo es $Z$ se detuvo en el momento $T$ porque $Z_0=1$ , $$ 1=E[Z_{T\wedge t}]=E[e^{T/2-a};T\le t]+E[e^{B-t-t/2}; t<T]. $$ El primer término del lado derecho de esta pantalla converge a $E[e^{T/2-a}]$ como $t$ aumenta a $+\infty$ por convergencia monótona. Queda por demostrar que el segundo término converge a $0$ . Por el teorema de Girsanov, porque $Z_t1_{\{t<T\}}$ es $\mathcal F_t$ -Medible, $$ E[e^{B_t-t/2};t<T]=E[Z_t; t<T]=Q[t<T], $$ donde $Q$ es la ley del movimiento browniano con deriva +1 (es decir, la ley de $B_t+t$ ). Así, $$ \lim_{t\to+\infty}E[e^{B_t-t/2};t<T]= Q[T=+\infty]. $$ Finalmente, $Q[T=+\infty]=0$ porque el tiempo de impacto del límite $t-a$ por un movimiento browniano con deriva positiva unitaria tiene la misma distribución que el tiempo de golpe de $-a$ por un movimiento browniano estándar, y este último tiempo de golpeo es finito, a.s.