Pasos y explicación para resolver $z^2-(3-2i)z+(5-5i)=0$ ?

Question

Estoy leyendo un libro y actualmente estoy haciendo algunos ejercicios. El ejercicio con el que estoy teniendo problemas es este:

Resuelva la siguiente ecuación para $z$ :

$z^2-(3-2i)z+(5-5i)=0$

Sé que la solución es $2+i$ y $1-3i$ pero no conozco los pasos para llegar a este resultado. He intentado utilizar la forma polar del número complejo para calcular las raíces utilizando la fórmula de solución de las ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, lo que obtengo no está ni siquiera cerca de los resultados correctos :/

Así que si alguien pudiera dar una guía fácil de usar sobre cómo resolver ese polinomio cuadrático, ¡me alegraría mucho!

Ah, y aquí están mis resultados generales, si consigues leerlos :P

Answer 1

Considere en $\mathbb C[z]$ la ecuación $$az^2+bz+c=0.$$ Como en $\mathbb R[z]$ las soluciones vienen dadas por $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta }}{2a},$$ donde $\Delta =b^2-4ac.$

Answer 2

Utilice que su ecuación se puede escribir como $$(z-(2+i)) (z-(1-3 i))$$

Answer 3

Completemos el cuadrado: $$(z^2-(3-2i)z+\left(\dfrac{3-2i}{2}\right)^2=\left(\dfrac{3-2i}{2}\right)^2-(5-5i).$$ Esto nos da $$\left(z-\dfrac{3-2i}{2}\right)^2=\dfrac{-15+8i}{4}.$$ No es difícil darse cuenta de que el lado derecho de la última ecuación es el cuadrado de $$\dfrac{1+4i}{2}.$$ Por último, toma la raíz cuadrada de ambos lados (no olvides tanto+ como -) y resuelve la incógnita $z.$

Answer 4

Sugerencia

Tenías la idea correcta pero hiciste mal la raíz cuadrada.

$$\sqrt{(3-2i)^2-4(5-5i)}\ne 5$$

de hecho,

$$\sqrt{(3-2i)^2-4(5-5i)}=\sqrt{-15+8i}=a+bi$$ con, $a,b \in \Bbb R$ Así que.., $$(a+bi)^2=-15+8i$$

resuelve la ecuación anterior y obtén el resultado.

Answer 5

El PO cometió dos errores en el ejercicio:

1. Como la fórmula cuadrática es $\lambda= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ El $-(3-2i)$ debe ser sustituido por $(3-2i)$ para $-b$ .
2. El cálculo de $\Delta=b^2-4ac$ es incorrecto.

Tenemos

$$\Delta =b^2-4ac=(3-2i)^2-4(1)(5-5i)=(5-12i)-(20+20i)=-15+8i$$

para que

$$\lambda=\frac{3-2i\pm \sqrt{-15+8i}}{2}$$

donde podemos encontrar las raíces cuadradas $\pm (a+bi)$ de $-15+8i$ resolviendo la ecuación

$$(a+ib)^2=-15+8i$$

Tenemos que $(1+4i)^2=-15+8i$ por lo que las dos raíces cuadradas son $\pm(1+4i).$ Por lo tanto,

$$\lambda=\frac{3-2i + (1+4i)}{2}=2+i$$

o

$$\lambda=\frac{3-2i - (1+4i)}{2}=1-3i$$