Valor esperado de la derivada temporal del operador frente a la derivada temporal después del operador

Question

El problema 3.18 de la obra de Griffiths Introducción a la mecánica cuántica (3ª ed.) pide aplicar el teorema de Ehrenfest generalizado a operadores como el hamiltoniano y el operador de momento. El propósito del ejercicio es hacer que las fórmulas clásicas salgan de las ecuaciones. La forma general es: $$\frac{d\langle Q\rangle}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat Q] + \left< \frac{\partial Q}{\partial t}\right>.$$ Ahora, cuando apliqué esto al Hamiltoniano en un potencial estacionario, mi intuición me dijo que tendría que convertirse:

$$\frac{d\langle H\rangle}{dt} = 0,$$

porque esto parece hacer referencia a la conservación de la energía. De manera similar, para el momento, deberíamos obtener:

$$m\langle a\rangle=\left<-\frac{\partial V}{\partial x}\right>,$$

que sé que se asemeja a la 2ª Ley de Newton en el potencial de una fuerza conservadora. El problema del que me di cuenta al resolverlas, fue que no era evidente que $\langle \partial \hat H/\partial t\rangle=0$ o $\langle \partial \hat p/\partial t\rangle=0$ En particular, dado que los operadores lineales (parecen) actuar siempre de forma multiplicativa, estaba interpretando $\langle \partial \hat p/\partial t\rangle$ de la siguiente manera:

$$\begin{align} \left<\frac{\partial \hat p}{\partial t}\right>&=\left<\Psi(x,t)\mid\frac{\partial \hat p}{\partial t}\Psi(x,t)\right>\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}\overline{\Psi(x,t)}\left(\frac{\partial \hat p}{\partial t}\right)\Psi(x,t)dx\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}\overline{\Psi(x,t)}\frac{\partial}{\partial t}\Big(\hat p\:\Psi(x,t)\Big)dx \end{align}$$

Yo claramente soy no el sólo uno teniendo problemas de interpretación dicho derivado, y al respecto, creo que mis preocupaciones han sido respondidas en los hilos enlazados (debemos pretender como el derivado nos obliga a mirar $\hat Q$ como si fuera una función que pudiera depender explícitamente del tiempo, y derivar el propio operador como tal).

Sin embargo, me hizo preguntarme: ¿y si quieren para expresar "el valor esperado del operador que aplica $\partial/\partial t$ después de aplicar $\hat Q$ "? La notación utilizada en el teorema generalizado de Ehrenfest no debe interpretarse como tal, por lo que la única otra forma que he visto para expresarlo, es escribir $$\left<\frac{\partial}{\partial t}\hat Q\right>.$$ ¿Es esto correcto? ¿Por qué la notación multiplicativa de los operadores no se aplica en este teorema, pero en todas las demás partes (por lo que sé tras haber leído 130 páginas), sí?

Answer 1

En la imagen de Schrödinger, el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ es físicamente el conjunto de estados en un momento dado. Una función como $\psi(x,t)$ no es un estado, sino una evolución temporal de un estado. Los operadores tampoco dependen a priori del tiempo: toman funciones de $x$ y las funciones de retorno de $x$ . Un operador dependiente del tiempo es realmente una función valorada por el operador; se tiene un operador dependiente del tiempo si, para aplicarlo a una función de onda $\psi(x)$ también necesitas saber en qué momento estás tomando la función de onda. Este no es el caso de $X$ o $P$ .

Esto también demuestra que $\partial/\partial t$ no es un operador en el sentido cuántico de la palabra, porque actúa sobre las evoluciones temporales de los estados, no sobre los estados. No se puede aplicar $\partial/\partial t$ a $\psi(x)$ . Y como dices en tu comentario, cosas como

$$\langle \Psi | \hat{Q} \frac{\partial \Psi}{\partial t} \rangle$$

no son valores de expectativa, sólo productos internos; productos internos dependientes del tiempo, de hecho. Se necesita un estado evolutivo $|\Psi(t)\rangle$ para que tenga sentido.