Cuestiones conceptuales en la prueba teórica de las expectativas condicionales (vía Radon-Nikodym)

Question

He estado investigando la teoría de la medida (desde la perspectiva de un probabilista), y he encontrado que la prueba de la existencia de la expectativa condicional se siente un poco "glosada" en la literatura. Por lo tanto, he tratado de muy, muy lentamente desglosar los pasos y como resultado tengo tres preguntas relacionadas con lo que parecen "cuestiones conceptuales".

Primero mostraré cómo desarrollaría poco a poco la prueba (por favor, corregidme si me equivoco), lo que me llevará a las preguntas del final:

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Paso 1: Establecer el espacio de probabilidad: $(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$ . Considere un $\Sigma$ -variable aleatoria (RV) medible, sobre este espacio como $X$ (que funcionaría por ejemplo como: $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ )

Paso 2: Definir sub $\sigma$ -Álgebra: $\mathcal{G}\subset \Sigma$ , lo que resulta en un espacio medible: $(\Omega, \mathcal{G})$ .

Paso 3: Definir una medida, $\nu$ , en $(\Omega, \mathcal{G})$ . Esta medida es para comportarse como:

\begin{align*} \nu(G) = \int_G X d\mathbb{P} = \int_{\Omega}X\mathbf{1}_{G} d\mathbb{P}=\mathbb{E}[X\mathbf{1}_{G}], \quad \forall G\in\mathcal{G}. \end{align*}

Paso 4: Consideremos ahora la medida de probabilidad restringida, $\mathbb{P}^{\mathcal{G}}$ restringido a un espacio medible, $(\Omega, \mathcal{G})$ , de tal manera que $\mathbb{P}(G) = \mathbb{P}^{\mathcal{G}}(G)$ , $\forall G\in\mathcal{G}$ . Por lo tanto, ahora estamos considerando trabajar el espacio de probabilidad: $(\Omega, \mathcal{G},\mathbb{P}^{\mathcal{G}})$ .

Paso 5: Por construcción $\nu \ll \mathbb{P}^{\mathcal{G}}$ . Por lo tanto, podemos invocar el Radon-Nikodym, lo que significa que hay un único (a.s.), $\mathcal{G}$ -función medible, $Z$ , s.t.

\begin{align*} \nu(G) = \int_G Z d\mathbb{P}^{\mathcal{G}} = \int_{\Omega} Z \mathbf{1}_{G} d\mathbb{P}^{\mathcal{G}} = \mathbb{E}[Z\mathbf{1}_{G}], \quad \forall G\in\mathcal{G}. \end{align*}

Paso 6: Así, podemos concluir las siguientes relaciones:

\begin{align*} E[X\mathbf{1}_G] = \nu(G) = \int_{\Omega} Z\mathbf{1}_G d\mathbb{P}^{\mathcal{G}} = \mathbb{E}[Z\mathbf{1}_{G}] \end{align*}

El significado de esto es que el LHS es un $\Sigma$ -medible RV, y en el RHS es un $\mathcal{G}$ -Medida de la VR. Además, $X=Z$ (a.s.) como por Radon-Nikodym $Z$ es único (a.s.).

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Preguntas:

Q1: Hasta donde yo sé, ésta es la prueba de la existencia de la expectativa condicional. Sin embargo, para mí no es inmediatamente obvio por qué ésta debe ser la expectativa condicional. Parece que los autores simplemente hacen una afirmación al final:

Por lo tanto, $Z=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ ...

Sin embargo, no entiendo a qué se debe. Sobre todo porque $\mathbb{E}[\cdot]$ me parece que no es sólo una "cuestión de notación", porque $\mathbb{E}[X] = \int Xd\mathbb{P}$ tiene una definición muy precisa. Así que si declaramos, $Z=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ Parece que la definición de $\nu(G)$ debe consistir en una integral iterada.

Q2: En la larga lista de igualdades del paso 6, por la que concluimos $\mathbb{E}[X\mathbf{1}_G]=\mathbb{E}[Z\mathbf{1}_G]$ ¿es la expectativa con la misma medida de probabilidad? es decir, ¿es $\mathbb{P}$ ¿en ambos lados? O $\mathbb{P}$ en el caso de $\mathbb{E}[X\mathbf{1}_G]$ y $\mathbb{P}^{\mathcal{G}}$ en el caso de $\mathbb{E}[Z\mathbf{1}_{G}]$ ... o simplemente no importa? En este caso, he visto que diferentes autores tienen puntos de vista contradictorios, y no estoy seguro de si es una cuestión importante, o simplemente un error de transcripción.

Q3: ¿Cuál es la importancia de que $X$ es $\Sigma$ -medible, y $Z$ es $\mathcal{G}$ -¿Medible? Antes escribí que "es una conclusión significativa", pero no tengo una intuición por qué es un concepto tan importante.

Answer 1

1. Normalmente, estos autores dan la definición de las expectativas condicionales antes de mostrar su existencia. En concreto, se define $\mathsf{E}[X\mid \mathcal{G}]$ como (i) $\mathcal{G}$ -variable aleatoria medible $Z$ s.t. (ii) $\mathsf{E}[X1_G]=\mathsf{E}[Z1_G]$ por cada $G\in\mathcal{G}$ . El Teorema R-N implica que dicha variable aleatoria existe. De hecho, es la derivada R-N de $\nu$ por ejemplo $\mathsf{P}$ .

2. No importa porque $Z1_G$ es $\mathcal{G}$ -Medible.

3. El significado es que en general no podemos tomar $Z=X$ (satisface (ii) trivialmente, pero $X$ no es necesariamente $\mathcal{G}$ -medible).

Answer 2

En primer lugar, no es cierto que $X$ es casi seguro igual a $Y = \mathbb{E}[X | \mathcal{G}]$ . Técnicamente, esto no se deduce de la unicidad en el teorema de Radon-Nikodym porque Radon-Nikodym da una única $\mathcal{G}$ -medible variable aleatoria $Y$ con $\nu(G) = \int_G Y d\mathbb{P}^G$ pero $X$ generalmente no es $\mathcal{G}$ -Medible. De lo contrario, se perdería todo el sentido de la expectativa condicional. Por ejemplo, dejemos que $\mathcal{G} = \{ \emptyset, \Omega\}$ . Entonces $Y = \mathbb{E}X$ es constante pero $X$ obviamente no tiene que ser constante, también.

Q1 : La expectativa condicional de $X$ con respecto a un $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{G}$ se define como el esencialmente único $\mathcal{G}$ -variable aleatoria medible $Y$ tal que para cada $G \in \mathcal{G}$ es $$ \mathbb{E}_\mathbb{P} \, X 1_g = \mathbb{E}_{\mathbb{P}^\mathcal{G}} \, Y 1_G. $$ Eso es exactamente lo que ha demostrado.

Q2 : En la respuesta a la pregunta 1 he utilizado una notación que indica que en el lado derecho de la ecuación la expectativa se toma con respecto a la probabilidad restringida $\mathbb{P}^\mathcal{G}$ y en el LHS con respecto a $\mathbb{P}$ . Esto deja claro que en el lado derecho $Y$ es $\mathcal{G}$ -medible, pero es indiferente que se integre con respecto a $\mathbb{P}$ o $\mathbb{P}^\mathcal{G}$ . Para $\mathcal{G}$ -funciones simples medibles de la forma $\sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{G_i}$ está claro que las expectativas para las diferentes medidas son iguales y esto se extiende a funciones medibles arbitrarias.

Q3 : Que $Y$ es $\mathcal{G}$ -medible y $X$ es $\Sigma$ -medible es todo el sentido de la expectativa condicional. En una aplicación, la $\sigma$ -representa la información disponible en la forma en que los conjuntos de la $\sigma$ -álgebra son las que puedo distinguir con la información de que dispongo. Admito que intuitivamente no está claro en qué sentido un $\sigma$ -el álgebra representa la información. Sin embargo, tal vez se aclare en una situación especial con El criterio de medición de Doob :

(Doob) Deja que $(\Omega, \mathcal{F})$ y $(E, \mathcal{E})$ sean espacios medibles, $X: \Omega \rightarrow E$ y suponer que $\mathcal{F}$ es el $\sigma$ -generada por $X$ es decir $\mathcal{F }= X^{-1}(\mathcal{E})$ . Entonces cualquier $\mathcal{F}$ -variable aleatoria medible $Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ puede escribirse como $$Y = g \circ X$$ para alguna función medible $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ .

Por lo tanto, suponga que su $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{G}$ es en realidad generada por alguna variable aleatoria $Z$ . Entonces $\mathcal{G}$ representa la información que tengo si conozco el valor de $Z$ . Desde $Y = \mathcal{E}[X | \mathcal{G}]$ es $\mathcal{G}$ -medible Doob da una función medible $g$ tal que $$ Y = g \circ Z. $$ Esta función $g$ permite establecer el valor conocido de $Z$ para obtener el valor esperado de $Y$ dada esta información.