Estaba mirando la pregunta Es $7$ ¿el único primo seguido de un cubo? y estaba recorriendo algunas de las potencias bajas de $n^m-1$
He intentado $m=2$ y consiguió que $n^2-1=(n+1)(n-1)$ Razoné que $n+1>1$ porque de lo contrario $n-1<0$ y no puede ser primo. Por lo tanto, la configuración $n-1=1$ obtenemos $n=2$ y eso nos da nuestra prima de $2+1=3$ que debe ser el mayor primo seguido de un cuadrado.
A continuación probé $m=4$ y consiguió que $n^4-1=(n^2+1)(n^2-1)$ con $n^2+1>1$ . Pero ahora $n^2-1=1$ lo que implica que $n = \pm \sqrt 2$ que no es un número entero. Tomé esto como una contradicción y razoné que no hay primos que sigan a potencias de 4.
Finalmente, miré $m=2k$ y consiguió que $n^{2k}-1=(n^k+1)(n^k-1)$ con $n^k+1>1$ . Me pasa lo mismo $n^k-1=1$ lo que implica que $n = \pm \sqrt[k] 2$ que no es un número entero para $k>1$ (que da una razón que $m=2$ funciona).
¿Es correcto mi razonamiento? ¿Realmente no hay primos que sigan a potencias pares mayores que 2 de n?
