Invarianza de difeomorfismo, derivada de Lie

Question

Hay escrito en el libro de flujo de Ricci de Hamilton sobre la Derivada de Lie esto:

The Lie derivative, which measures the infinitesimal lack of  
diffeomorphism invariance of a tensor with respect to a 1-parameter group of  
diffeomorphisms generated by a vector field, has the following properties: 

(1) Si $f$ es una función, entonces $\cal L_x f = Xf$ ,

(2) Si $Y$ es un campo vectorial, entonces ${\cal L_X} Y = [X,Y]$ .

No entiendo qué intuitivamente es la "invariancia del difeomorfismo".

Answer 1

Para simplificar las cosas, dejemos que $X,Y$ sean campos vectoriales en $\mathbb{R}^n$ . Entonces $\mathcal{L}_XY$ da la tasa de cambio instantánea de $Y$ en la dirección del flujo $\phi_t$ en el que $X$ induce. Puedes demostrarlo,

$$ \mathcal{L}_XY(p) = [X,Y](p) = \lim_{t \to 0} \frac{Y( \phi_t(p)) - Y(p)}{t}$$

Aquí $\{\phi_t\}$ es el $1$ -grupo de parámetros de difomorfismos. Por definición del límite, la derivada de la mentira no es más que preguntar, ``cómo $Y$ cambio en la dirección de la velocidad para el flujo de fase?". Dejando $t$ ser muy pequeño que tenemos,

$$ \mathcal{L}_XY(p) t \approx Y(\phi_t(p))-Y(p)$$

es decir, la derivada de la mentira nos dice también cómo $Y$ varía con respecto al flujo, es decir, bajo el cambio de coordenadas $\phi_t$ ¿Qué tan diferente es $Y(\phi_t(p))$ y $Y(p)$ ? Por lo tanto, está midiendo la invariabilidad de $Y$ (que es un tensor) con respecto al difeomorfismo $\phi_t$ .