Combinación de transformaciones lineales

Question

Si tengo dos transformaciones lineales -por ejemplo, una proyección y una dilatación, o una rotación y una proyección-, ¿puedo simplemente realizar la operación requerida en cada transformación lineal por separado?

Por ejemplo:

Digamos que quiero proyectar $x=\langle 12,5,1\rangle$ en el $x$ -y luego dilatar por $5$ .

Para la proyección, simplemente termino con $\langle 12,0,0\rangle$ . Entonces para seguir, la dilatación me dejaría con $x'=\langle 60,0,0\rangle$

¿Es esto correcto, o debo combinar estos pasos (de forma similar a las rotaciones múltiples)? Mi libro de texto no hace referencia a esto.

Gracias.

Answer 1

A lo que realmente se llega es a la idea de Composición de Transformaciones Lineales.

Formalmente, si dejamos que $\phi:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3$ y $\psi:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3$ representan la proyección a lo largo del $x-$ eje y luego la dilatación por algún factor $k\in\mathbf{R}.$

$$\phi(c_1,c_2,c_3) = (c_1,0,0)$$ $$\psi(c_1,c_2,c_3) = k_1(c_1,c_2,c_3)\text{ where }k\in\mathbf{R}$$

entonces la transformación a la que se refiere en su pregunta es $\psi\circ\phi = \psi\phi$ . Así que si compusiéramos las transformaciones anteriores de esta manera utilizando las definiciones anteriores tenemos $$\psi\phi(c_1,c_2,c_3) = \psi(\psi(c_1,c_2,c_3)) = \psi(c_1,0,0) = k(c_1,0,0)$$

que es exactamente lo que obtendrías si los combinaras "individualmente".

Espero que esto le resulte útil.