¿Pueden diferentes cuaterniones representar la misma orientación?

Question

Para un proyecto actual en el que estoy trabajando tengo que utilizar cuaterniones para representar la orientación de un objeto. El trozo de código en el que estoy trabajando ahora integra las tasas de rotación al cuaternión que representa la orientación. Para probarlo he hecho un modelo simulink para simular un objeto en rotación y comparar mi resultado con el de la simulación.

Me he dado cuenta de que si comparo el cuaternión calculado por el bloque "ángulos de rotación a cuaternión" de Simulink, no es el mismo que he calculado yo, pero si vuelvo a convertir ambos a ángulos de rotación son iguales.

Esto me lleva a la conclusión de que varios cuaterniones pueden representar la misma orientación. Pero como soy nuevo en esto de los cuaterniones he pensado en preguntar para estar seguro.

Answer 1

Si un cuaternión se multiplica por cualquier número real, sigue representando la misma rotación en $\mathbb{R}^3$ . Esa es la única forma en que dos cuaterniones pueden representar la misma rotación.

Con más detalle: $\mathbb{R}^3$ puede identificarse con los cuaterniones $E = \{ xi + yj + zk : x,y,z \in \mathbb{R}\}$ que tiene parte real cero, a través del mapa obvio $(x,y,z) \mapsto xi + yj + zk$ . Ahora bien, si $q$ es cualquier cuaternión no nulo, entonces $q$ define un mapa $\alpha_q : E \to E$ a través de $r \mapsto q^{-1}rq$ . Se trata de una isometría porque la norma es multiplicativa en los cuaterniones. El mapa $\alpha_q$ envía 1 a 1, y $E$ es el complemento ortogonal de 1, y por tanto $\alpha_q$ envía $E$ a $E$ . Ahora se puede comprobar que $\alpha_q$ es la identidad sólo cuando $q$ es real.

Editar (a partir del comentario de LutzL más abajo): Estoy tomando $\alpha \beta$ para significar hacer $\alpha$ entonces $\beta$ (es decir, los mapas se consideran operadores derechos). Con el orden más estándar de los operadores izquierdos ( $\alpha \beta$ significa hacer $\beta$ entonces $\alpha$ ), necesitaría $r \mapsto qrq^{-1}$ en su lugar.