Tengo la prueba de Euler para la Pregunta:
Demuestra que no hay ningún primo más grande.
Pero una de las soluciones en internet da esta prueba de Arquímedes:
Por favor, ayúdenme a entender la prueba.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que $p$ es el mayor primo.
Por el teorema fundamental de la aritmética puede escribir $p! + 1$ como un producto de primos, que necesariamente no son mayores que $p$ y, por tanto, son factores de $p!$ .
Pero $p! + 1$ dividido por un número entero cualquiera $q \le p$ da el resto $1$ , como $$ p! + 1 = q \cdot (p \cdot \ldots \cdot (q+1) (q-1) \cdot \ldots 2 \cdot 1) + 1, $$ y así $p! + 1$ no es divisible por $q$ .
walcher
Puntos
2569
Tenga en cuenta que $p!+1\gt p$ . Por supuesto $p$ es el mayor primo, por lo que $p!+1$ no puede ser primo. Por lo tanto, tiene un divisor primo $q|p!+1$ . Pero $q\le p$ Así que $q|p!$ . De esto concluimos $q|p!+1-p!=1$ Lo cual es absurdo. Si la suposición de que hay un primo mayor conduce a una contradicción, entonces la suposición debe ser falsa y no hay ningún primo mayor.
Pablote
Puntos
1149
Esto es una prueba por contradicción. Si se supone que $p$ es el mayor primo, entonces $p! + 1$ siendo estrictamente mayor que $p$ no puede ser primo y, por tanto, por el Teorema Fundamental de la ARitmética, existe un primo $q$ que divide $p! + 1$ y como $q < p$ , $q | p!$ y como también divide $p! +1$ , se divide $1$ , lo cual es una contradicción.
user2566092
Puntos
19546
$p! = p(p-1)(p-2)\cdots 1$ que es divisible por $q$ para todos $q \leq p$ . Así que si $p! + 1$ es divisible por el primo $q$ donde $1 < q \leq p$ (que debe ser verdadera si $p$ es el mayor primo porque cada número tiene una única factorización prima), entonces se puede restar $p!$ de $p! + 1$ y la respuesta debe ser de nuevo divisible por $q$ pero la diferencia es $1$ y $q > 1$ , lo que da lugar a una contradicción. Así que no puede haber un primo mayor $p$ .
