Estoy tratando de resolver un simple problema de teoría de conjuntos. Lo encontré en el libro de Kuratowski (Corolario $8$ capítulo $1$ ), pero me gustaría resolverlo de una manera ligeramente diferente. Este es el enunciado y un primer intento, hasta el punto en que me quedé atascado.
Dejemos que $(A,\trianglelefteq)$ sea un conjunto bien ordenado. Entonces no hay isomorfismo entre el conjunto y ninguno de sus segmentos iniciales.
Consideremos un conjunto bien ordenado $(A,\trianglelefteq)$ y, por contradicción, supongamos que existe un isomorfismo $$f:(A,\trianglelefteq)\rightarrow (pred(A,a,\trianglelefteq )),$$ donde $(pred(A,a,\trianglelefteq )$ es el segmento inicial generado por $a$ . Como el conjunto está bien ordenado, cada uno de sus subconjuntos no vacíos tiene un elemento mínimo (en relación con la ordenación). Entonces consideremos $B=\{y\in A | f(y)\neq y\}$ que no esté vacío (por ejemplo $f(a)\neq a$ porque estamos suponiendo que el isomorfismo no es la identidad).
Quiero derivar una contradicción trabajando sólo en el menor elemento de $B$ , digamos que $m=\min_{\trianglelefteq}B$ ,
Es decir, la única posibilidad es $m=f(m)$ (no es posible que $m\trianglelefteq f(m)$ o $f(m)\trianglelefteq m$ ). Ahora tengo alguna idea pero hay algo que falla, y hasta ahora no he conseguido la solución exacta y rigurosa. He encontrado algunas otras preguntas relacionadas con este tema, pero me gustaría resolverlo sólo de esta manera, utilizando el $m$ definido arriba. Muchas gracias.
