Una pregunta sobre los restos de la división de enteros

Question

Esta es una pregunta sobre el resto de la división entera de mi estudiante.

Notaciones. Deje $p$ ser positivo impar primer número entero. Escribimos $r_{i,j}$ durante el resto de $i \times j \div p$. Ahora, para un entero $u \in \{1, 2, \dots, p-2\}$, podemos definir \begin{align*} K_1 =&\{ i : 1 \le i \le p-2,\ r_{i,u}+u<p,\ r_{i,p-u-1} <u+1\}, \\ K_2 =&\{ i : 1 \le i \le p-2,\ r_{i,u}+u<p,\ r_{i,p-u-1} >u+1\}, \\ K_3 =&\{ i : 1 \le i \le p-2,\ r_{i,u}+u>p,\ r_{i,p-u-1} <u+1\}, \\ K_4 =&\{ i : 1 \le i \le p-2,\ r_{i,u}+u>p,\ r_{i,p-u-1} >u+1\}. \end{align*} Y por el otro $u' \in \{1, 2, \dots, p-2\}$, podemos definir a la $K_\nu'$$\nu=1,2,3,4$.

Pregunta. Si $K_1 =K_1'$$K_4=K_4'$, entonces cualquiera de las $K_2=K_2'$ $K_3=K_3'$ o$K_2=K_3'$$K_3=K_2'$.

Lo que he hecho.

1. Con la ayuda de la computadora, he comprobado la veracidad de esta pregunta para $p<100$.

2. Aún con la ayuda de la computadora, me encontré con que, al menos para $p<100$ si $K_1 =K_1'$$K_4=K_4'$, entonces cualquiera de las $u \equiv u' \pmod{p}$ o $u+u' \equiv p-1 \pmod{p}$. El primer caso corresponde al resultado $K_2=K_2'$$K_3=K_3'$, y el segundo corresponde al resultado $K_2=K_3'$$K_3=K_2'$.

3. He observado que las definiciones de la $K_\nu$'s, y encontré algunas condiciones equivalentes. En primer lugar, tenemos \begin{align*} r_{i,u}+u<p &\quad\Leftrightarrow\quad r_{i+1,u} =r_{i,u} +u,\\ r_{i,u}+u>p &\quad\Leftrightarrow\quad r_{i+1,u} =r_{i,u} +u-p, \end{align*} y del mismo modo, \begin{align*} r_{i,p-u-1} <u+1 &\quad\Leftrightarrow\quad r_{i+1,p-u-1} =r_{i,p-u-1} +(p-u-1),\\ r_{i,p-u-1} >u+1 &\quad\Leftrightarrow\quad r_{i+1,p-u-1} =r_{i,p-u-1} +(p-u-1) -p. \end{align*}

4. El uso de la discusión en (3), obtenemos \begin{align*} i \in K_1 &\;\Leftrightarrow\; r_{i,u}+r_{i,p-u-1}<p \text{ but } r_{i+1,u}+r_{i+1,p-u-1}>p, \\ i \in K_4 &\;\Leftrightarrow\; r_{i,u}+r_{i,p-u-1}>p \text{ but } r_{i+1,u}+r_{i+1,p-u-1}<p, \\ i \in K_2 \cup K_3 &\;\Leftrightarrow\; \text{both %#%#% and %#%#% are %#%#% or %#%#%}. \end{align*}

5. Ahora por el resultado en (4), podemos ver que $r_{i,u}+r_{i,p-u-1}$ $r_{i+1,u}+r_{i+1,p-u-1}$ si y sólo si para cada a $<p$, las firmas de $>p$ $K_1 =K_1'$ son de la misma (es decir, ambos positivos o ambos negativos).

Sin embargo, yo realmente no sé cómo resolver esta pregunta, así que si tienes alguna idea, por favor que me ayude. Muchas gracias por su atención.

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Todas las ideas o sugerencias son bienvenidos. Por favor.

Answer 1

Para continuar con su argumento: que tienen la propiedad de que $r_{i,u}+r_{i,p−u−1}−p$ $r_{i,u′}+r_{i,p−u′−1}−p$ tienen el mismo signo para todos los $i$. Esto es equivalente a decir que $r_{i,u} - r_{i,u+1}$ $r_{i,u'} - r_{i,u'+1}$ tienen el mismo signo para todos los $i$. Esta diferencia siempre es $p-i$ o $-i$, así que esto significa que $$ r_{i,u} - r_{i,u+1} = r_{i,u'} - r_{i,u'+1} $$ para todos los $i=1,2,\ldots,p-2$.

También se puede argumentar que esto significa que para todos los $i$ la suma de las fracciones $$ \{\frac{ui}p\} + \{\frac{i(u'+1)}p\} +\{\frac{i(-u')}p\} =1+\{\frac{i(u+1)}p\}. $$ Esto se convierte en una declaración de que algunos tóricas cíclica de la singularidad en la dimensión de tres terminales. Estos han sido clasificados. Creo que el corolario 1.3 de "TERMINAL COCIENTE DE SINGULARIDADES EN LAS DIMENSIONES DE TRES Y CUATRO" DAVID R. MORRISON Y GLENN STEVENS http://www.ams.org/journals/proc/1984-090-01/S0002-9939-1984-0722406-4/S0002-9939-1984-0722406-4.pdf debe darle la deseada declaración.