Hay una buena manera de pensar de la desaparición de los ciclos y cerca de ciclos?

Question

De vez en cuando me encuentro con la literatura que invoca fuga ciclo de maquinaria con una críptica frase como, "esto se desprende de un estándar de fuga ciclo de argumento." Hay una buena manera de ver la desaparición de los ciclos, cerca de ciclos, y la especialización? Tengo una decente idea de cómo se trabaja para el estudio de la cohomology de un parámetro plana de la familia de degenerar complejos colectores (ver más abajo), pero en general, la gavilla de la imagen me da un dolor de cabeza. Cualquier reconocimiento de los principios (por ejemplo, "esto se ve como un lugar donde la puedo usar una fuga ciclo argumento") sería la mayoría de la recepción.

Decir que tengo una familia de complejos colectores de donde las fibras son suaves, más de un pinchazo en un unidad de disco, y tiene una leve singularidades más de cero (a priori de las singularidades podría ser arbitrariamente mal, pero decir que volar hasta hemos simple normal cruces). El cohomology de las fibras se forma un vector paquete en el disco perforado, y viene equipada con algo más de estructura, tales como un puro Hodge de filtración y de Gauss-Manin conexión que identifica cerca de fibras. Cuando intentamos extender el vector paquete largo de todo el disco, el extra estructuras degenerado - la estructura de Hodge se convierte en "mixto", y la conexión adquiere logarítmica singularidades. Estas estructuras no son inmediatamente relevantes para esta pregunta, pero parecen ser muy interesante.

Tan lejos como puedo decir, la desaparición de los ciclos y cerca de ciclos surgen cuando tratamos de relacionar la cohomology de fibras lisas X_t con la de la fibra especial X₀. Cada liso de fibra X_t tiene una inclusión mapa para el total de espacio X, y X es homotopy equivalente a X₀ por un fiberwise de la retracción. La composición de los rendimientos de un mapa de X_t a X₀, y el pushforward de un haz en X_t a lo largo de este mapa de los rendimientos de la cercana ciclos de gavilla. Cuando inicio con la constante gavilla en X_t esto produce un haz en X₀ que calcula cohomology de X_t para algunos abstractos tonterías razón. Hasta el momento, estoy bien, pero parece que la elección de t no es canónica suficiente, por lo que se reemplaza X_t con el homotopy equivalente universal de fibra X_oo sobre la cobertura universal de la disco perforado (la mitad superior del plano), y define cercanos ciclos por algunos locos pullback-pushforward-retirada de la secuencia. La especialización y la desaparición de los ciclos parecen ser similares - creo que es una bonita imagen geométrica en algún lugar, pero la proliferación de la parte superior e inferior de las estrellas me hace triste. Hay una buena manera de ver a través de esa maraña?

Answer 1

En general no creo que haya nada fácil sobre cercanos y la desaparición de los ciclos. Sin embargo, tiendo a encontrar esclarecedor considerar su topología. Es decir, si f:X \a y C es una función en un complejo algebraicas (o analítica) variedad, a continuación, el tallo cohomology de la cercana ciclos functor aplicarse a algunos de los complejos de poleas de F en un punto x \in f^{-1}(0) es simplemente el de la cohomology (con respecto a F) de la fibra de Milnor de f en x. Dada la utilidad de Milnor de fibras en el estudio de la topología de espacios singulares, creo que esta es una buena motivación para el cercano ciclos functor: en cierto sentido, reúne la información de todos los Milnor fibras juntos en una sola gavilla.

Ahora usted también puede usar un montón de casitas de resultados acerca de Milnor de fibras de decir cosas acerca de estas tallo cohomology de los grupos y su monodromy. Por ejemplo, si f tiene una singularidad aislada, a continuación, el singular de la fibra de Milnor es homotópica a un arreglo de n-esferas, donde n está dada por el llamado número de Milnor. El monodromy a menudo puede ser calculado con la ayuda de la Thom-Sebastiani teorema que dice que si f = g + h (donde g,h son funciones en distintas subvariedades de X tales que su suma tiene sentido como una función de X), entonces la monodromy de la fibra de Milnor con respecto a f es el producto tensor de la monodromies con respecto a g y h.

Si también estamos interesados en la desaparición de los ciclos, entonces se puede dar de una manera similar topológico descripción del tallo cohomology grupos. Dejar que me denotar la inclusión de f^{-1}(0) en X, tenemos la exacta triángulo con la especialización mapa i^*F \a la cercana ciclos de F y la canónica mapa de la cercana ciclos de F a la desaparición de los ciclos de F (aunque tal vez no debería ser llamado canónica porque es el cono de la especialización mapa). De todos modos, mirando a los asociados largo de la secuencia exacta proporciona una descripción topológica de la desaparición de los ciclos (en particular, si f es suave luego de la desaparición de los ciclos es igual a cero y obtenemos un isomorfismo entre la i^*F y la cercanía de los ciclos de f).

Me gustaría poder decir más sobre el tipo de principio de reconocimiento que estás buscando, pero el único lugar que he encontrado cerca de ciclos es en Springer teoría, donde el cercano ciclos de la adjoint cociente mapa aplicada a la constante gavilla es isomorfo a el pushforward de la constante gavilla bajo el Springer resolución (y por lo tanto el monodromy acción determina la acción del grupo de Weyl en el cohomology de Springer fibras). Quizás en este caso la cosa a notar es que el nilpotent de cono es singular y también la fibra a cero de la adjoint cociente mapa, lo que hace que parezca que el potencial de un buen candidato para los ciclos de argumentos?

Answer 2

También tengo un montón de dificultad de ver lo que está pasando, y no soy experto, por lo que tomar esto con un grano de sal.

He aquí una pequeña imagen (que usted ya sabe) que he encontrado útil: Massey de la descripción de la "fuga de los ciclos en el ángulo \theta" (ver http://arxiv.org/abs/math/9908107, alrededor de la página 23) que da la intuición geométrica para el paso de la X_{\infty} a su cobertura universal. Es decir, restringir su familia para que el segmento donde t es en e^{i \theta} [0,\epsilon], es decir, un rayo que emana desde el origen en el plano complejo; a continuación, proceder como lo hizo antes, excepto no loco cubre necesario, debido a que su base es ahora contráctiles. Esto le da un functor (isomorfo a cerca de ciclos para cualquier fija \theta), junto con una acción de monodromy.

Answer 3

Una cosa que yo entiendo es que la desaparición de los ciclos son más que acerca de las singularidades — hay una versión derivada que es más interesante. Me gustaría obtener una respuesta a mí mismo. Esto también es importante para los físicos, por ejemplo, hep-th/0605206

Answer 4

Me gustó el artículo mencionado por Massey muy mucho demasiado, pero supongo que la mejor descripciones son todavía Deligne del SGA 7,parte II, capítulos 13, 14, donde incluso se llega a unas cifras (por CIERTO, mi impresión de los capítulos y algunas formulaciones en otros artículos por Deligne es lo que él pensaba acerca de las generalizaciones, al parecer, nunca publicado). Me encontré con la Pared: "los Períodos de Integrales y Topología de Variedades Algebraicas", Griffiths "resumen" y su "Períodos III" muy útil, partes de este motivic libro también. Arthur Ogus estudios de fuga/cerca de ciclos en el contexto de los registros de la geometría. Relacionado con el tema es el local monodromy teorema, acerca de que, monodromy-peso conjetura etc., He encontrado Illusie del artículo en Asterisque 223 muy buena.