Anillo de endomorfismo de un módulo noetheriano

Question

En la última clase de Teoría Algebraica de Números demostramos que un dominio noetheriano $A$ es un DVR si es intergralmente cerrado y tiene un único ideal primo no nulo. En algún momento el profesor utilizó el argumento de que si $A$ es noetheriano, entonces $\textrm{End}_A(\mathfrak{p})$ es noetheriano como un $A$ -(donde $\mathfrak{p}$ es el único ideal primo no nulo).

1. ¿Por qué es cierto lo que he descrito anteriormente? (Si lo es.)
2. ¿Es cierta una afirmación más general: si intercambiamos $\mathfrak{p}$ con cualquier módulo noetheriano $M$ , lo hará $\textrm{End}_A(M)$ sea noetheriano como un $A$ -¿Módulo?

Answer 1

En general, si $A$ es un anillo conmutativo y $M$ y $N$ son $A$ -módulos con $M$ generado finitamente y $N$ Noetheriano, entonces $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ es un noetheriano $A$ -módulo. En efecto, si $M$ es generado por $x_1,\dots,x_n$ entonces $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ es isomorfo a un submódulo de $N^n$ mediante la asignación de un homomorfismo $f$ a $(f(x_1),\dots,f(x_n))$ . Desde $N$ es noetheriano, también lo es cualquier submódulo de $N^n$ Así que $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ es noetheriano.