Sea $k$ un campo tal que su grupo de unidades $k^\times$ es finitamente generado; entonces, ¿es cierto que $k$ es finito? Solo puedo demostrar que $\text{car}(k) > 0$. Por favor, ayúdenme. ¡Gracias de antemano!
Un campo de este tipo sería un cociente de $R=\Bbb Z[X_1,\ldots,X_n]$. Es bastante conocido que todos los campos cociente de $R$ son finitos. Si se conoce que la característica es $p$, entonces dicho campo es un cociente de $\Bbb F_p[X_1,\ldots,X_n]$ y por tanto, por el Nullstellensatz es una extensión finita de $\Bbb F_p.
(Omito la prueba de que la característica es distinta de cero; esa es otra aplicación del Nullstellensatz.)
Puedo entender que $k^\times$ será una imagen homomórfica del grupo aditivo de $\mathbb Z[X_1,...,x_n]$; pero ¿por qué el campo $k$ en sí debería ser una imagen homomórfica? Y por consiguiente, debido a esto, no puedo entender por qué debería funcionar el argumento posterior.
Tome un conjunto finito de generadores de $k^\times$ y sus recíprocos y elija suficientes $X_i$ para mapear todos ellos. @usuarios
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