Aprendiendo álgebra abstracta para un título de posgrado

Question

Me gustaría hacer un posgrado en matemáticas, y tengo un año completo antes de que voy a ser capaz de hacerlo (por razones personales). Yo principalmente tengo mis fines de semana disponibles para el estudio.

Estoy interesado en Álgebra Abstracta en general, me gustó mucho los cursos de como grupos, anillos, la teoría del campo/la teoría de Galois, etc'.

Siempre he encontrado análisis a ser difícil para mí y cursos en el ámbito de aplicación del Álgebra Abstracta se sentía más natural e intuitiva (aunque Yo tenía un poco de dificultad con algunas de las partes más avanzadas de los cursos).

Me dijeron que otros, a continuación, tomar algunos puntos de crédito que voy a obtener una pregunta al supervisor, que no está resuelto todavía, pero parece en un razonable dificultad para él, y yo le tengo y tendré para intentar encontrar una solución.

Me gustaría prepararme, en este año, para tener control sobre varía los sujetos en Álgebra Abstracta, de modo que me será más probable para ser capaz de resolver este tipo de pregunta (o, incluso, de entender, ya que no se son algunos de los temas de Álgebra Abstracta que no he aprendido en cualquier de los cursos que tomé como estudiante de licenciatura).

También, yo últimamente han sido conscientes de algunos de los temas que involucran tanto el análisis y el Álgebra Abstracta, tales como grupos topológicos.

Yo sería feliz si pudiera evitar ese tipo de temas, pero no sé qué el tipo de matemática que se estudia en un título de graduado de nivel, por lo que este me lleva a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué temas de Álgebra Abstracta debería estudiar en profundidad ? ¿ los temas de Álgebra Abstracta debería estar familiarizado con los conceptos básicos ?

2. Hay temas en análisis, topología, etc, que son propensos a ser necesarios para responder a un título de posgrado a nivel de tipo de preguntas ?

3. ¿Cuál debería ser el foco de mi trabajo, debo tratar de hacer muchos de los ejercicios de dentro del texto, o se centran en las pruebas y la teoría ?

Tengo el libro de Álgebra Abstracta por Dummit y Foote a estudiar, así como los libros en otra área de las matemáticas, tales como la Topología de Monkers que me ayude con este objetivo.

Yo estaría muy agradecido para escuchar opiniones y consejos sobre este asunto!

Añadió:

Nota 1: me gustaría mencionar que aunque trato de evitar el análisis, Todavía tenía que tomar cursos en los que, por lo que no me falta conocimiento elemental en muchos temas, he tomado: Introducción al análisis funcional, Análisis Real (teoría de la medida), análisis complejo, la ODA, la Introducción para el análisis numérico, Introducción a la teoría de la probabilidad (el curso no hablar de $\sigma$ álgebras y etc " pero no se habla de variables aleatorias, CLT, etc').

Pero no me considero para ser bueno en los temas (excepto, tal vez, probabilidad de que me gustó mucho), yo los entiendo, pero yo estoy a punto de promedio en ellos, así que no creo que yo sería capaz de hacer algo no triviales en esos temas.

Me gustaría extender mis preguntas a incluir el complemento de mi pregunta para qué estudiar por lo que no debería gastar mi tiempo en:

4) existen temas en Álgebra Abstracta, o otros en otras áreas que Necesitaría saber (tal vez topología ?) que puedo omitir algunas partes de (principalmente no temas centrales que son difíciles de aprender), ya que probablemente no me ayuda (y debido a la falta de tiempo) ?

Answer 1

Voy a responder directamente a esta parte de su pregunta.

Yo sería feliz si pudiera evitar esos temas [análisis], pero no sé qué tipo de matemáticas que se estudia en un título de graduado de nivel, así que esto me lleva a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué temas de Álgebra Abstracta debería estudiar en profundidad ? ¿qué temas de Álgebra Abstracta debería estar familiarizado con los conceptos básicos ?

2. Hay temas en análisis, topología, etc que es probable que sean necesarios para responder a un título de posgrado a nivel de tipo de preguntas ?

3. ¿Cuál debería ser el foco de mi trabajo, debo tratar de hacer muchos de los ejercicios dentro del texto, o se centran en las pruebas y la teoría ?

4. Hay temas en Álgebra Abstracta, o otros en otras áreas de las que yo tendría que conocer (tal vez topología ?) que puedo omitir algunas partes de (principalmente no temas centrales que son difíciles de aprender), ya que probablemente no me ayuda (y debido a la falta de tiempo) ? Tengo el libro de Álgebra Abstracta por Dummit y Foote a estudiar, así como los libros en otra área de las matemáticas, tales como la Topología de Monkers que me ayude con este objetivo.

En primer lugar, quiero mencionar que, a menos que esté absolutamente seguro de que usted va a especializarse en el grupo puro o anillo de la teoría, entonces usted necesitará un poco de análisis. De hecho, es probable que tengas un montón de análisis. Explicar por qué es un poco más complicado. La versión corta es que casi cada área de matemáticas se basa o al menos informado por el análisis, álgebra y topología; esta es la razón por la mayoría de los programas de posgrado (en el Estados Unidos de todos modos) requieren de estos como de posgrado clases de graduado o graduada exámenes de ingreso o de posgrado pruebas de calificación, etc.

Para ampliar un poco más camino - el cálculo es bastante interesante, y te permite hacer un montón de cosas. Una cosa común que los matemáticos hacen es poner medidas en extrañas espacios de modo que usted puede tener algunas variantes de la integración. En la teoría de los números (incluso la teoría algebraica de números, que es a menudo la misma cosa como la geometría algebraica, la cual es a menudo la misma cosa como el álgebra conmutativa, que es sólo el álgebra y la teoría del grupo), nos gusta tener medidas llama Haar medidas en la matriz de grupos, como la $GL(n), SL(n), Symp(n)$, etc. Esto nos permite hacer la integración de estos grupos. Por lo que el estudio de las funciones invariantes bajo las acciones de estos grupos, o funciones invariantes en ciertos cosets de estos grupos que se comportan muy bien en virtud del anillo de la traducción, o alguna idea similar. Y una forma de hacer esto es para integrarlos, o considerar la posibilidad de una integral sobre un promedio ponderado de una función a través de la cosets nuestra función es invariante a través de (leer: Eisenstein Serie por ejemplo), para extraer gran parte algebraica información acerca de los campos de número. O consideramos que las representaciones (como en la teoría de la representación, que se me amontonan en la mayor álgebra de dominio a veces) y la analítica de las extensiones de las representaciones. Todo lo que he mencionado aquí, se requiere una cierta comodidad con la topología, análisis y álgebra.

Esto es para decir que el álgebra se mezcla un poco con el análisis de muchas maneras. Usted realmente se beneficiarían de tener un buen entendimiento de análisis y topología. En particular, no se centran únicamente en el álgebra. La otra respuesta dice esto un poco, pero voy a recalcar esto un montón. Es muy importante para entender el análisis y la topología, a menos que usted va a hacer limite a puro remoto, teoría de grupos. Y aun así, yo no lo recomiendo.

Pero volviendo a tu pregunta sobre álgebra:

Me recete un camino en el álgebra. En un comentario en la otra respuesta, usted menciona que sabes grupos, anillos, campos, teoría de Galois. Genial! También dicen que usted tiene Dummit y Foote (por lejos mi preferido introducción el grupo y el anillo de la teoría). Entonces me sugieren dos caminos:

1. Vayan a aprender más acerca de las partes que más le gustaba. Teoremas de Sylow de su interés? Tratar de aprender su camino a través del teorema de Burnside. Te gusta la teoría de Galois? Recoger algunos infinito-dimensional de la teoría de Galois y probar su mano. Tal vez usted ya sabe que? Ir a recoger a algunos la teoría algebraica de números en texto como una introducción a la teoría algebraica de números texto construye muy bien en los campos básicos de la teoría y de la teoría de Galois, y sugiere más caminos. Para ser justos, yo soy parcial - soy un número teórico. Lo importante es que usted vaya y profundizar en las cosas que te interesan.

2. Recoger Atiyah y MacDonald Álgebra Conmutativa (esperemos que a partir de una biblioteca, como son orgullosos), y hacer lo mejor en todos los ejercicios. Este es el 'natural' de la extensión de qué hacer a continuación, y es que el verdadero camino en un serio interés en el álgebra, en mi opinión. Me dicen que usted debe hacer todos los ejercicios porque este libro es famoso por haber realmente importante lemas y teoremas en los ejercicios de oposición a la exposición. Esto también realmente establecer su teoría de grupos y anillos de la teoría en la piedra, y tiene Dummit y Foote a caer de nuevo si es necesario. Si eso ya lo sabe usted, usted debería siguiente ir a Lang de Álgebra (un poco, cosa asustadiza echar un vistazo a lo primero), Matsumura, el Conmutativa Anillo de Teoría (mucho, mucho, mucho más alto que el de Atiyah MacDonald, aunque tienen esencialmente el mismo nombre), o Eisenbud del Álgebra Conmutativa (también más difícil de Atiyah MacDonald, sino que está diseñado para las personas interesadas en la geometría algebraica - si usted no sabe lo que es, buscar).

Me gustaría añadir una cosa más acerca de su (3) - el problema con el aprendizaje de las pruebas y la teoría es que no hay ninguna razón para que ellos se adhieren en su propio. Usted puede abrir Atiyah MacDonald y entender todo lo que leas, por ejemplo. Pero yo no esperaría mucho de que durar, a menos que usted use. Así que una buena filosofía general es leer y tratar de absorber, pero, a continuación, hacer ejercicios para dejar que se solidifique. Bien escrito ejercicios requieren para construir en el texto, tanto como una revisión y para construir la intuición.

Un problema difícil es saber cómo muchos ejercicios para hacer. Muchos, demasiados, perder el tiempo. Muy pocos, te voy a olvidar mucho. Pero esto es algo discutible, ya que es difícil saber cuáles son los problemas son útiles o bien a hacer antes de hacerlo, y en algunos textos de algunos de los problemas son mucho mucho mejor para usted que otros. Para ello, te aconsejo que pregunte a su asesor (o encontrar a alguien que pueda proporcionar algún tipo de orientación) para la dirección una vez que tienes una idea de qué clase de cosas que usted quiere aprender acerca de.

Answer 2

Aquí están mis pensamientos sobre sus preguntas - que son, por supuesto, limitado por mi propio conocimiento, por lo que tomar esto con una pizca de sal :

1. Grupos, Anillos y Campos (que conduce a la teoría de Galois) forman el núcleo de álgebra abstracta que se imparte a casi todo el mundo en la escuela de posgrado. Dependiendo de sus antecedentes, yo recomendaría Herstein los Temas de Álgebra. Empezar con el grupo de teoría (del teorema de Lagrange, el Grupo de acciones, Sylow de teoremas), luego hacer algunas anillo de teoría (centrándose en el polinomio de los anillos), y, finalmente, empezar a leer sobre el campo de extensiones. Obtener una base sólida en teoría de grupos, aunque.

2. No evite Análisis y Topología. Usted podría no disfrutar de ella al principio, pero un montón de interesantes de las matemáticas que sucede cuando estos diferentes mundos chocan (por ejemplo, en el análisis funcional), y no saber uno que le impiden apreciar esto.

3. Centrarse en los problemas y ejemplos. ¿Como muchos como usted puede, y el uso de los teoremas como cajas negras hasta que se han analizado los ejemplos suficiente para apreciar las pruebas. A continuación, volver atrás y aprender las pruebas (y lo que es más importante, de las técnicas que se muestran una y otra vez)