¿Por qué es especial el álgebra de Lie de un grupo y por qué es útil el adjunto?

Question

Estoy leyendo este papel para una introducción a la teoría de Lie, y tengo problemas para entender el punto de la matriz adjunta. Pero tengo algunas preguntas que conducen a ella.

Qué hace el álgebra de Lie de un grupo, $T_{\epsilon}\mathcal{M}$ especial en comparación con otros espacios tangentes $T_{\mathcal{X}}\mathcal{M}$ del grupo? En otras palabras, ¿qué se puede hacer en el álgebra de Lie que no se pueda hacer en otro espacio tangente?

Entiendo la derivación si $Ad_{\mathcal{X}}$ pero no entiendo muy bien por qué tiene que haber un mapeo $^{\mathcal{X}}\tau \mapsto ^{\epsilon}\tau$ para empezar.

Gracias por leer.

EDIT: He centrado más la pregunta.

Answer 1

Supongamos que $g\in G$ . ¿Cuál es la diferencia entre $T_e G$ y $T_g G$ ? Bueno, ya que la inversión y la multiplicación por la izquierda por $g$ son suaves, tenemos mapas lineales $dL_g:T_e G\to T_g G$ y $dL_{g^{-1}}:T_g G\to T_e G$ y como $g*g^{-1}=e$ estos mapas son invertibles. Así que cada espacio tangente tiene un isomorfismo canónico al espacio tangente en la identidad.

Ahora podrías objetar: el punto de los colectores es que vamos a ver campos vectoriales , no sólo vectores en un punto. Es decir, la identificación de los espacios tangentes no nos ayuda (inmediatamente) a entender el haz tangente.

Bueno, si me das un campo vectorial $V$ en $G$ Puedo hacer nuevos campos vectoriales $gV_{gp} = dL_g(V_p)$ para cada elemento $g\in G$ . Si $G$ fueran finitos, podríamos tomar la media de todos ellos y obtener un nuevo campo vectorial, que puedes comprobar que es invariante de la izquierda es decir, multiplicando a la izquierda por cualquier $g\in G$ deja el campo vectorial sin cambios. Si $G$ no es finito, pero es compacto, existe una herramienta llamada medida de Haar que se puede utilizar para integrar sobre G y obtener la media. Resulta que los campos vectoriales invariantes a la izquierda en $G$ realmente capta la mayor parte (¿toda?) de la información que la consideración de todos los campos vectoriales.

Así, se tiende a trabajar en $T_e G$ y utilizar las acciones de la izquierda para desplazarse y estudiar la estructura local, y utilizar la técnica de promediación para captar la estructura global.