Ramificación de una extensión de Galois

Question

Entiendo que una extensión del campo numérico $L/K$ es unramificado si todo ideal primo no nulo de $\mathcal{O}_K$ no está ramificado en $L$ (donde un ideal primo $\mathfrak{p}$ de $\mathcal{O}_K$ es ramificado si tiene $e_i > 1$ para algunos $i$ cuando se escribe como la descomposición de los primos de $\mathcal{O}_L$ ).

Sin embargo, no estoy seguro de la situación cuando $L/K$ es Galois. Por ejemplo, si el grupo de inercia es trivial, ¿implica que toda la extensión es unramificada o sólo uno de sus primos?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

La simplificación que se produce cuando $L/K$ es Galois es que para cualquier primo fijo $\mathfrak{p}$ de $\mathcal{O}_K$ el grupo de Galois actúa transitivamente sobre los primos $\mathfrak{P}_i$ de $\mathcal{O}_F$ por encima de $\mathfrak{p}$ . Así que los grupos de descomposición $D_{\mathfrak{P}_i/\mathfrak{p}}$ y los grupos de inercia $I_{\mathfrak{P}_i/\mathfrak{p}}$ para diferentes $i$ son todos conjugados, por lo que los índices de ramificación $e_{\mathfrak{P}_i/\mathfrak{p}}$ son todos iguales, al igual que los grados del campo de residuos.

Esto fue para una prima fija abajo. La historia para otra prima fija $\mathfrak{p}'$ de $\mathcal{O}_K$ es (más o menos) independiente de la historia para $\mathfrak{p}$ .