Juego de doblar el dinero

Question

El casino ofrece un cierto juego de ganar y perder, en el que tienes $p$ posibilidad de ganar. Puedes apostar cualquier cantidad de dinero y, si ganas, obtienes el doble de tu apuesta; de lo contrario, pierdes tu apuesta. Si utilizas la estrategia óptima, ¿cuál es tu probabilidad de duplicar tu dinero, en función de $p$ ?

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Se me ocurrió la siguiente solución incorrecta:

Tiene un 100% de posibilidades de ganar si $p>\frac{1}{2}$ y $p$ posibilidad de ganar si $p<\frac{1}{2}$ . Supongamos que $p>\frac{1}{2}$ . Entonces, cada vez que apuestes exactamente la mitad de tu dinero. Si tienes $x$ dólares, terminas con $\frac{3}{2}x$ si gana y $\frac{1}{2}x$ si pierde, por lo tanto su resultado esperado es $\frac{3}{2} xp + \frac{1}{2}x(1-p)$ que es igual a $xp + \frac{1}{2}x$ . Así que si $p>\frac{1}{2}$ entonces el total es mayor que $x$ .

Dado que cada juego te hace ganar dinero de media y que puedes jugar un número arbitrario de juegos, por supuesto deberías tener el 100% de posibilidades de doblar tu dinero.

Del mismo modo, si $p<\frac{1}{2}$ En el caso de las apuestas, se puede demostrar que por mucho que apostemos, perdemos dinero por término medio. Entonces, en promedio, nuestro dinero tenderá a cero, por lo que es mejor que vayamos con todo al principio, con $p$ posibilidad de duplicar nuestro dinero.

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No entiendo la solución adecuada, pero creo que esta solución es incorrecta; sin embargo, tengo problemas para señalar dónde se cae mi prueba. Gracias.

Editar para que sirva de referencia, he incluido un pantalla de la solución dada.

Answer 1

Esta respuesta sólo examina la estrategia de apuestas que defiende el OP (apostar siempre la mitad de lo que se tiene) y algunas de sus variantes. Con esta estrategia:

Uno nunca se arruina (su fortuna siempre es positiva). Uno se duplica casi con seguridad si $p$ es lo suficientemente grande pero con una probabilidad inferior a $1$ si $p$ es lo suficientemente pequeño.

Obsérvese que no existe ningún teorema que diga que toda submartingala positiva alcanza todos los niveles con casi total seguridad, por lo que los argumentos basados únicamente en los promedios de los incrementos, no pueden ser suficientes para llegar a una conclusión.

En la estrategia que defiende el OP, la fortuna realiza un paseo aleatorio multiplicativo cuyos pasos de $x$ son para ir a $\frac32x$ y a $\frac12x$ con probabilidad $p$ y $1-p$ respectivamente. Así, el logaritmo de la fortuna realiza un paseo aleatorio habitual con pasos $\log\frac32$ y $\log\frac12$ cuya deriva constante es $m(p)=p\log\frac32+(1-p)\log\frac12$ por lo que $m(p)=p\log3-\log2$ tiene el signo de $p-p^*$ donde $p^*$ resuelve la ecuación $3^{p^*}=2$ Por lo tanto $p^*=\frac{\log2}{\log3}=.6309...$

Si $p\geqslant p^*$ , $m(p)$ es no negativo por lo que el logaritmo de la fortuna llega al conjunto $[C,+\infty)$ casi seguramente para cada $C$ . En particular, uno se duplica casi con seguridad.

Si $p<p^*$ , $m(p)$ es negativo por lo que el logaritmo de la fortuna tiene una probabilidad positiva $q$ para no visitar nunca el plató $[\log2,+\infty)$ por ejemplo. Esto significa que con probabilidad $q$ En el caso de las apuestas, se podrá apostar un número infinito de veces sin llegar a quebrar ni doblar. En efecto, la fortuna en el momento $k$ irá a cero como $a(p)^k$ cuando $k\to+\infty$ con $a(p)=\frac123^p<1$ .

No hay una fórmula fácil para la probabilidad $q$ para no doblar nunca pero la probabilidad de doblar $n$ tiempos disminuye exponencialmente como $\exp(-b(p)n)$ cuando $n\to\infty$ , donde $b(p)$ es la única solución positiva de la ecuación $p(3^b-1)=2^b-1$ .

Si $p<p^*$ La estrategia en la que se apuesta siempre la mitad de lo que se tiene fracasa. ¿Qué ocurre con la estrategia en la que uno siempre apuesta una proporción $r$ de lo que uno tiene? El mismo análisis se aplica y muestra que uno duplica casi con seguridad, por cada $p\geqslant\wp(r)$ , donde $p=\wp(r)$ resuelve la ecuación $(1+r)^{p}(1-r)^{1-p}=1$ (nota que $\wp(\frac12)=p^*$ ).

Al revés, para cada $p>\frac12$ una estrategia que gana casi seguro es apostar una proporción $r$ de lo que uno tiene, siempre que $p\geqslant\wp(r)$ . Desde $\wp(r)\searrow\frac12$ cuando $r\searrow0$ se obtiene:

Para cada $p>\frac12$ La estrategia en la que uno siempre apuesta una proporción $r$ de lo que uno tiene gana casi seguramente para cada valor positivo suficientemente pequeño de $r$ (por ejemplo, $r\leqslant 2p-1$ ).

Answer 2

Voy a suponer que conoces la teoría de la medida como base de la teoría de la probabilidad. Primero intentaré proporcionar una formulación precisa del problema para $p \gt \frac{1}{2}$ y luego tratar de explicar lo que falta en su explicación.

Tenemos como espacio de probabilidad el espacio de apuestas $$ \Omega = \{-1, 1 \}^{\mathbb{N}} $$ donde el evento 1 denota "ganar" y -1 denota "perder", y la probabilidad de $1$ es $p$ . Tenemos un presupuesto inicial de $z_0$ dólares. Podemos apostar cantidades de dinero arbitrariamente pequeñas.

A estrategia de apuestas sería una secuencia $(a_i)$ que indica la cantidad de dinero $\geq 0$ ya lo creo, $$ (a_i) \in \mathbb{R_+^\mathbb{N}} $$ tal que para todo $n \in \mathbb{N}$ $$ \sum_{i=1}^n \omega_i a_i \ge -z_0 $$ Esta condición dice que no se puede apostar dinero que no se tiene, es decir, una vez que se ha perdido $z_0$ hay que parar (y apostar $0$ dólares a partir de ese momento para todas las apuestas siguientes).

Cuando escriba

deberías tener un 100% de posibilidades de duplicar tu dinero.

su reclamo es que para $p \gt \frac{1}{2}$ hay una estrategia de apuestas $(a)_i$ para que $$ \text{winning condition: }P(\omega: \text{there is an index n such that } \sum_{i=1}^n \omega_i a_i \ge z_0) = 1 $$ Su estrategia de apuestas para respaldar su afirmación es

cada vez que apuestes exactamente la mitad de tu dinero.

Llamemos a esta estrategia de apuestas $(b)_i$ . Tendrías que demostrar que la condición de ganar se mantiene. Esto hace no se desprende del hecho de que el valor esperado de una apuesta individual es positivo.

Para su estrategia de apuestas, por ejemplo el evento $$ \omega = -1, -1, ... $$ trivialmente no te dejará ganar. Esto también es cierto para el evento $$ \omega = -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1,... $$ etc.

Así que hay eventos no ganadores $\omega_i$ para su estrategia de apuestas: ¿Tiene el conjunto de todos esos eventos probabilidad cero?