¿Cuál es el grado de libertad de este tipo de matriz?

Question

Primero tenemos una matriz unitaria $$\{a_{ij}\}\quad(n\times n)$$ Sé cómo calcular su grado de libertad, que es $n^2$ si consideramos una variable real como un grado de libertad. Ahora tenemos una matriz que es $$\{|a_{ij}|^2\}$$ donde el $a_{ij}$ son los elementos de la matriz unitaria anterior. Me pregunto cómo calcular su grado de libertad.

Answer 1

He aquí una respuesta parcial: La ofrezco con la esperanza de que su método pueda ayudar a otra persona a darle una respuesta completa.

Sugiero que un mejor planteamiento de su pregunta podría ser:

Dado un $n\times n$ matriz de números reales positivos $r_{j\,k};\;j,\,k\in 1\cdots n$ cuántos pueden ser elegidos libremente para que existan fases reales $\phi_{j\,k};\;j,\,k\in 1\cdots n$ tal que la matriz cuyos elementos son $r_{j\,k}\,\exp(i\,\phi_{j\,k})$ ¿es unitario? ¿Cuáles son las relaciones entre los que se pueden elegir libremente y el resto?

He aquí una conjetura cuya justificación no consigo hacer rigurosa por el momento (por eso he dicho que es una respuesta parcial).

Conjetura: La respuesta es $\frac{n\,(n-1)}{2}$

Lo que sé con seguridad : La respuesta es al menos $\frac{n\,(n-1)}{2}$ y como máximo $\frac{n\,(n+1)}{2}$

Para ver esto, trabajamos de la siguiente manera.

Todas las matrices unitarias son de la forma $e^H$ , donde $H$ es simétrico (esto es válido en todo el mundo para el $U(N)$ Ejemplo de grupo de Lie, pero hay grupos de Lie conectados que no son simplemente las exponenciales de sus álgebras. Sin embargo, la verdad local (en la vecindad de la identidad) de la afirmación es suficiente para nuestros propósitos). El álgebra de Lie real $\mathfrak{u}(n)$ de $n\times n$ Las matrices simétricas oblicuas permiten $n^2$ coordenadas geodésicas dimensionales (exponenciales) para el grupo de Lie $U(N)$ en algún barrio abierto $\mathcal{U}\subset U(N)$ de la matriz de identidad dentro de $U(N)$ .

Igualmente, las magnitudes y fases del $\frac{n\,(n-1)}{2}$ números complejos por encima de la diagonal principal de $H\in\mathfrak{u}(n)$ junto con el $n$ elementos imaginarios de la diagonal principal de $H$ (de nuevo, un total de $n^2$ números reales) sirven como coordenadas únicas dentro de la vecindad $\mathcal{U}$ .

Ahora un lema:

Lema: Hay un barrio $\mathcal{V}\subseteq \mathcal{U}$ de la identidad dentro de $U(N)$ tal que para cualquier $\gamma\in\mathcal{V}$ lo siguiente $n^2$ los números reales sirven como coordenadas únicas para la vecindad $\mathcal{V}$ : (1) las partes real e imaginaria de la $\frac{n\,(n-1)}{2}$ números complejos por encima de la diagonal principal en $\gamma\in\mathcal{V}$ junto con el $n$ fases de los elementos a lo largo de la diagonal principal de $\gamma$ .

Prueba: Considere $f:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}^{n^2}$ donde $f$ mapea las coordenadas dadas por el $\frac{n\,(n-1)}{2}$ partes reales del triángulo superior, $\frac{n\,(n-1)}{2}$ partes imaginarias del triángulo superior junto con el $n$ imaginarios puros diagonales principales en el elemento del álgebra de Lie $g=\log \gamma$ en el $\frac{n\,(n-1)}{2}$ partes reales del triángulo superior, $\frac{n\,(n-1)}{2}$ partes imaginarias del triángulo superior y $n$ fases diagonales principales del elemento $\gamma$ . Esta función es continuamente diferenciable y $\mathrm{d} f$ es invertible en el origen; de hecho $\mathrm{d} f=\mathrm{id}$ allí (dado que $e^H = \mathrm{id} + H + O(H^2)$ ). Por lo tanto, por el Teorema de la Función Inversa, existe una vecindad abierta del origen en la que $f$ es invertible, por lo que siempre hay un miembro del álgebra de Lie cuya exponencial tiene cualquier conjunto de magnitudes y fases en su triángulo superior y cualquier conjunto de fases a lo largo de su diagonal principal, siempre que las magnitudes y las fases de la diagonal principal sean todas suficientemente pequeñas. $\;\square$

Así que ahora sabemos que para una matriz unitaria lo suficientemente cercana a la identidad, podemos elegir cualquier conjunto de $\frac{n\,(n-1)}{2}$ magnitudes menores que algún máximo no nulo en su triángulo superior, pero no en su triángulo inferior, ya que el triángulo superior junto con las fases diagonales principales forman un conjunto de coordenadas locales cercanas a la identidad. Pero como máximo podemos elegir las magnitudes de las diagonales principales, por lo que la respuesta correcta está entre $\frac{n\,(n-1)}{2}$ y $\frac{n\,(n+1)}{2}$ (inclusive).

Sospecho que es $\frac{n\,(n-1)}{2}$ porque, en primer orden, las magnitudes de los elementos diagonales principales de una matriz unitaria cerca de la identidad son la unidad, pero quizá alguien lo sepa con seguridad.

Answer 2

La matriz que has definido está formada por entradas no negativas, digamos $a_{ij}$ y satisfacen $$\sum_{k=1}^n a_{ki} = \sum_{k=1}^n a_{ik} = 1,\qquad\forall i=1,\ldots,n.$$ Por lo tanto, es un matriz doblemente estocástica y como tal tiene como máximo $(n-1)^2$ parámetros: $n^2$ variables y $2n-1$ limitaciones. Ver también este enlace en MO para más detalles.