Máximo común divisor de a+b,a-b

Question

Demostrar que $gcd(a + b, a b) gcd(a, b)$

Dejemos que $d=gcd(a+b,a-b)$
Así que $d=m(a+b)+n(a-b) = a(m+n)+b(m-n)$
Lo que implica $d|a$ y $d|b$
Por lo tanto, $d|gcd(a,b)$
$gcd(a,b)=dx d= gcd(a + b, a b)$

¿Por qué recibo la desigualdad opuesta?

Answer 1

$$\gcd(a,b)\mid a,b\implies \gcd(a,b)\mid a+b,a-b$$

$$\iff \gcd(a,b)\mid \gcd(a+b,a-b)\implies \gcd(a,b)\le \gcd(a+b,a-b)$$

Answer 2

Dejemos que $g=\gcd(a,b)$ . Entonces $$\begin{align} \gcd(a+b,a-b) &=g\gcd\left(\frac{a+b}g,\frac{a-c}g\right)\\ &\ge g \end{align}$$ desde $$\gcd\left(\frac{a+b}g,\frac{a-c}g\right)\ge1$$