Aproximación a la resolución analítica de las diferencias no lineales

Question

Esta diferencial no lineal de primer orden fue publicada en un foro de ciencia y me interesa mucho. Me gustaría saber cuáles son los pasos más apropiados para comprobar la posibilidad de una solución analítica, así como cuáles podrían ser los pasos apropiados para resolverla analíticamente.

$\dot{x} = - \alpha {x}^{1/2} \arctan{(kx)}$

para $x>0$ y $t \in [0,T]$ , donde $T < \infty$ y $k > 0$

También tengo algo de curiosidad por saber de dónde puede haber salido, cosa que no le había preguntado al cartel original y, por tanto, ¡no lo sé! No estoy buscando una lección, o una solución completa, sólo un esquema si es posible. El único libro que tengo sobre diferenciales no cubre las no lineales y por lo tanto ni siquiera estoy seguro de si este es un caso particular de algún subconjunto de estudio.

Answer 1

Esta es una ecuación en variables separadas. Si $\dot x=dx/dt$ entonces $$ \frac{dx}{\sqrt{x\,}\arctan(k\,x)}=-\alpha\,dt. $$ Integrando $$ \int\frac{dx}{\sqrt{x\,}\arctan(k\,x)}=-\alpha\,t+C. $$ Por desgracia, no creo que la integral tenga una forma cerrada en términos de funciones elementales (Mathematica no la encuentra.)

Dejemos que $f(x)=-\alpha\,\sqrt{x\,}\arctan(k\,x)$ Entonces $f$ es localmente Lipschitz en $[0,\infty)$ (de hecho es diferenciable con derivada acotada.) Para cualquier $x_0\ge0$ existe una solución única tal que $x(0)=x_0$ definido en un intervalo máximo $[0,T)$ . Si $x_0=0$ entonces $x\equiv0$ . Si $x_0>0$ es fácil ver que la solución $x$ es global (es decir $T=\infty$ ), decreciente, convexo y $\lim_{t\to\infty}x(t)=0$ .

Para obtener resultados cuantitativos, deben utilizarse métodos numéricos.