¿Puedes encontrar parámetros agradables para un punto que tiene dos puntos más cercanos en una función cuadrática?

Question

Cuando se tiene una función cuadrática

$$f(x) = a x^2 + bx + c$$

y un punto

$$P = (x_p,y_p)$$

puede encontrar uno o dos puntos en la gráfica de $f$ que tienen una distancia mínima (euclidiana)

$$d_{P,f}(x) = \sqrt{(x-x_p)^2 + (f(x)-y_p)^2}$$

Ejemplo

Cuando tienes $f(x) = x^2$ (así $a=1, b = c = 0)$ y $x_p= 0, y_p > 5$ puedes ver que tendrás dos soluciones. Pero no sé cómo calcularlas exactamente (no con una aproximación).

Puede utilizar $((d_{f,P} (x))^2)' \stackrel{!}{=} 0$ que es un polinomio de grado 3 y, por tanto, exactamente soluble. Pero me gustaría conocer algunos $a, b, c, x_p, y_p$ para el que hay dos soluciones y los parámetros deben ser "bonitos" (enteros, si es posible, o al menos expresiones cortas). ¿Es esto posible?

Solución

Aquí hay una imagen de $f(x) = x^2-1$ con $P = (0,4)$ que tiene las soluciones $x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ :

Answer 1

Toma $a = 1 , b = -4 $ y $c = 3$

Toma el punto para ser $ (x_p,y_p) = (2,4) $

En este caso se obtendrán exactamente dos soluciones .

Pista : El truco es que si tomas una ecuación cuadrática la recta $x = x_p$ donde $x_p$ es el $x$ Las coordenadas de los mínimos de la cuadrática contendrán puntos que darán dos soluciones para la distancia mínima .

Sólo tienes que dibujar un gráfico aproximado a partir de los parámetros que he mencionado, lo conseguirás.

Answer 2

Como se observa en su pregunta, el caso general requerirá resolver una ecuación cúbica. Pero puede simplificar el cálculo si trasladas el sistema de coordenadas de forma que tu punto $P$ es el origen. (no es difícil obtener los valores transformados de $a, b$ y $c$ ).

cuando la cúbica tiene tres raíces reales, dos corresponderán a distancias mínimas, y la tercera será una local máximo.

cuando se tiene una raíz real y dos complejas conjugadas, la raíz real será una distancia mínima.

la gráfica parabólica de $f(x)$ separa $\mathbb{R}^2$ en dos regiones abiertas donde se aplican los dos casos - intuitivamente una región se encuentra "dentro" de la curva, y la otra consiste en puntos "fuera" de la curva.