Probabilidad Discreta: Permutación aleatoria uniforme del conjunto {1,2,3,..2n}

Question

Pregunta: Dejemos que $n \geq 1$ sea un número entero. Consideremos una permutación uniformemente aleatoria del conjunto $\{1,2,3, \ldots, 2n\}$ . Definir el evento:

A = "tanto el primer elemento como el último de la permutación son enteros pares"

¿Qué es? $\Pr(A)$ ?

Respuesta: $\dfrac{(n-1)}{2(2n-1)}$

Intento: No estoy seguro de cómo hacerlo. Sé que hay $2$ posiciones fuera de $n$ posiciones así $nC2$ y hay $1$ para que el primer y el último elemento sean enteros pares. Y la $2n-2$ los números enteros restantes podemos ordenarlos en $(2n-2)!$ maneras. Y esto está fuera de $n!$ formas.

Así que, $\Pr = \dfrac{(nC2) \cdot (2N-2)!}{n!}$

Este enfoque no me da la respuesta correcta.

Answer 1

Hay $2n$ formas de elegir el primer número y $2n - 1$ formas de elegir el último número. De ellas, hay $n$ opciones favorables para el primer número ya que debe ser par, y $n - 1$ opciones favorables para el último número, ya que debe ser uno de los números pares restantes. Así, la probabilidad de que tanto el primer como el último número sean pares es $$\Pr(A) = \frac{n(n - 1)}{2n(2n - 1)} = \frac{n - 1}{2(2n - 1)}$$

¿Por qué su respuesta es incorrecta? ?

Has seleccionado dos números pares para colocarlos en la primera y última posición, y luego has afirmado que hay una forma de que el primer y el último elemento sean enteros pares. Sin embargo, hay dos maneras de disponer los enteros seleccionados en esas posiciones.

También ha afirmado que hay $n!$ formas de organizar el $2n$ enteros en el conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 2n\}$ . Sin embargo, hay $(2n)!$ tales acuerdos.

Con estas correcciones, se habría obtenido $$\Pr(A) = \frac{\binom{n}{2} \cdot 2!(2n - 2)!}{(2n)!} = \frac{\frac{n!}{2!(n - 2)!} \cdot 2!(2n - 2)!}{(2n)!} = \frac{n(n - 1)}{2n(2n - 1)} = \frac{n - 1}{2(2n - 1)}$$

Answer 2

Después de elegir los dos números pares especiales, hay dos opciones para ordenarlos.

Además, recuerda que en el denominador tenemos $2n$ elementos a permutar.

$$\frac{\binom{n}2\cdot 2\cdot (2n-2)!}{(2n)!}=\frac{n(n-1)}{(2n)(2n-1)}=\frac{n-1}{2(2n-1)}$$