pregunta sobre construcción de números verdaderos

Question

Así que me he metido confundidos sobre lo que parece una tautología uno utiliza en la construcción de los números reales como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales. De haberse construido el real en los números de esta manera, una vez que uno hace sentido del término "número real positivo" es fácil extender el valor absoluto y, en particular, obtener una noción de convergencia.

Si uno tiene una secuencia de Cauchy de números racionales que representa la clase de algún número real, seguramente esta secuencia converge a este número, pero ¿cómo se puede realmente ver esto sin pedir la pregunta?

Answer 1

Sí, me resulta difícil mantener estas cosas en mi mente, demasiado, de hecho, pensé que había llegado a ellos directamente, pero encontró en la redacción de este que eran menos directamente de lo que yo pensaba. :-)

Creo que un buen punto de partida es convencerse de que algunas de las operaciones que intervienen viaje. Es decir, si $a$ $b$ son secuencias de números racionales e $[a]$ $[b]$ el valor de sus clases de equivalencia, entonces

$$|[a]|=[|a|]$$

y

$$[a]-[b]=[a-b]\;.$$

Esto no funciona para $\le$, que, en cambio, obedece a

$$[a]\le [b] \Leftarrow\exists n_0\in\mathbb N:\forall n\gt n_0: a_n\le b_n\;.$$

Ahora podemos escribir la definición de la convergencia de las $[\{a_n\}]$ $[a]$(donde $\{a_n\}$ es la constante de la secuencia con los elementos de $a_n$),

$$\forall[\epsilon]\gt0:\exists n_0\in\mathbb N:\forall n\gt n_0:|[\{a_n\}]-[a]|\le[\epsilon]$$

(donde he escrito $[\epsilon]$ para hacer más fácil para distinguir visualmente los racionales y reales). Los desplazamientos de las operaciones en el lado izquierdo de la desigualdad de los rendimientos

$$\forall[\epsilon]\gt0:\exists n_0\in\mathbb N:\forall n\gt n_0:[|\{a_n\}-a|]\le[\epsilon]\;,$$

y esto está implícito en el

$$\forall[\epsilon]\gt0:\exists n_0\in\mathbb N:\forall n\gt n_0:\exists m_0\in\mathbb N:\forall m\gt m_0: (\{a_n\}-a)_m\le\epsilon_m\;.$$

Pero $(\{a_n\}-a)_m=\{a_n\}_m-a_m=a_n-a_m$, por lo que este se convierte en

$$\forall[\epsilon]\gt0:\exists n_0\in\mathbb N:\forall n\gt n_0:\exists m_0\in\mathbb N:\forall m\gt m_0: a_n-a_m\le\epsilon_m\;,$$

que parece mucho más útil, ya que el lado izquierdo de la desigualdad es ahora la diferencia de dos racionales en la secuencia, que converge desde $a$ es de Cauchy. Podemos simplificar esto

$$\forall[\epsilon]\gt0:\exists n_0\in\mathbb N:\forall m,n\gt n_0:a_n-a_m\le\epsilon_m\;,$$

dado que el movimiento de la cuantificador existencial en frente de el universal y que requieren $m_0$ $n_0$ a ser el mismo, sólo hace que la condición más fuerte. Ahora es reconocible que esta condición está implícito en el $a$ es de Cauchy, ya $\epsilon_m$ el tiempo debe ser mayor que algunos racional $\epsilon'\gt0$ y, a continuación, obtenemos $n_0$ a partir de la condición de Cauchy.

Answer 2

Más precisamente, es la secuencia de embedded copias de los números racionales que converge al número real.

Voy a representar el conjunto de clases de equivalencia de Cauchy secuencias de racionales por $\hat{\mathbb{R}}$. Para tratar de mantener las cosas lo más claro posible, voy a usar las $\|\cdot\|$ para el valor absoluto en $\hat{\mathbb{R}}$ $\vert\cdot\vert$ para el valor absoluto en $\mathbb{Q}$. Estoy asumiendo que para $[\sigma]\in \hat{\mathbb{R}}$ $\sigma = \langle p_n:n\in\omega\rangle$ ha definido $\| \sigma\|$ $\langle \vert p_n \vert:n\in \omega \rangle$ y demostrado que este tiene las propiedades esperadas.

Ahora supongamos que $[\sigma]$ es como el anterior. Para cada una de las $n\in\omega$ deje $\sigma_n$ ser la constante de la secuencia cuyos términos son todos $p_n$; $[\sigma_n]$ es, por supuesto, la copia de $p_n$$\hat{\mathbb{R}}$. Quiere mostrar que la secuencia de $\langle [\sigma_n]:n \in \omega\rangle$ converge a$[\sigma]$$\hat{\mathbb{R}}$. Suponiendo que usted ha hecho el trabajo de tierra necesario, no es suficiente para mostrar que para cada uno positivo $r \in \mathbb{Q}$ hay un $n_r\in\omega$ tal que $\|[\sigma]-[\sigma_n]\| = \langle \vert p_k-p_n \vert:k\in\omega\rangle \le [\rho]$ siempre $n\ge n_r$ donde $\rho$ es la constante de la secuencia cuyos términos son todos los $r$. (La definición es generalmente expresada en términos de $<$ en lugar de $\le$, pero los dos son fáciles de ver para ser equivalentes).

Por la definición de $\le$ en $\hat{\mathbb{R}}$, $\langle \vert p_k-p_n \vert:k\in\omega\rangle \le [\rho]$ siempre que hay algo de $k_{r,n}\in\omega$ tal que $\vert p_k-p_n \vert \le r$ siempre $k \ge k_{r,n}$. La secuencia de $\sigma = \langle p_n:n\in\omega\rangle$ es de Cauchy en $\mathbb{Q}$, por lo que hay un $m_r \in \omega$ tal que $\vert p_k-p_n \vert < r$ siempre $k,n \ge m_r$. Tome $n_r = m_r$, y para cada una de las $n \ge n_r$ deje $k_{r,n} = m_r$. A continuación, para cada una de las $n \ge n_r$ tenemos $\vert p_k-p_n \vert < r$ siempre $k \ge k_{r,n}$, y, por tanto, $\|[\sigma]-[\sigma_n]\| \le [\rho]$ por cada $n \ge n_r$, como se desee.