¿Hay alguna razón específica por la que tan pocos consideran la posibilidad de que haya algo subyacente a la Ecuación de Schrödinger ¿que es no lineal? Por ejemplo, ¿no puede gravedad cuántica (QG) sea no lineal como relatividad general (GR)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
heathrow
Puntos
25
Hay versiones no lineales de la ecuación de Schrodinger que son completamente irrelevantes para tu pregunta. Son como la ecuación de Gross-Pitaevski, son ecuaciones de campo clásicas no lineales que describen el flujo de un superfluido autointeractivo o BEC. Estas ecuaciones no tienen nada que ver con la evolución de las amplitudes de probabilidad, y no las consideraré más.
La teoría de la probabilidad es exactamente lineal
Para entender por qué el concepto de una ecuación no lineal para las amplitudes de probabilidad no es razonable, y muy probablemente es completamente imposible, consideremos primero la probabilidad clásica. Supongamos que tengo una ecuación clásica de movimiento de la forma
$$ {dx\over dt} = V(x)$$
donde el campo vectorial V describe el comportamiento futuro como un flujo en el espacio de fase, coordinado por x. Ahora puedo preguntar cuál es la evolución de una distribución de probabilidad $\rho(x)$ si tengo un conocimiento incompleto de la posición inicial.
La ecuación de evolución se determina considerando la probabilidad de acabar en una cajita que rodea a x'. Esta probabilidad es la suma de todos los caminos posibles que llevan a x' multiplicada por la probabilidad de estar al principio del camino. Esta suma da la ecuación de probabilidad:
$${\partial \rho\over \partial t} = V(x) \cdot {\partial \rho \over \partial x} - \rho(x)\nabla\cdot V $$
La cuestión es que esta ecuación es exactamente lineal, por razones fudamentales. Es imposible siquiera concebir un término no lineal en la ecuación de evolución de una distribución de probabilidad, porque la propia definición de probabilidad es la falta de información, representada por un espacio lineal.
Nótese que las distribuciones de probabilidad clásicas se definen en todo el espacio de fase, por lo que son ecuaciones lineales de enorme dimensión que incluyen completamente la dinámica no lineal si se restringe a las distribuciones de probabilidad agudas de la función delta en x. La única diferencia con la mecánica cuántica es que no hay distribuciones agudas de la función delta en presencia de observables no conmutativos en todos los observables. Por lo demás, los dos tipos de descripciones son similares
La mecánica cuántica mezcla amplitudes y probabilidades
Si tienes un sistema mecánico cuántico, la función de onda se mezcla con la probabilidad clásica de forma no trivial. Si se considera un sistema cuántico de dos partículas de espín 1/2 entrelazadas en un singlete de espín, la proyección de la función de onda sobre una de las dos partículas es una matriz de densidad que es una probabilidad clásica.
Esto es extremadamente importante de preservar, porque las probabilidades están correlacionadas no localmente, así que si hubiera alguna manera de extraer el componente lejano de la función de onda de espín, sería casi seguro que podrías usar esto para señalar más rápido que la luz, porque puedes colapsar la función de onda donde estás, y la matriz de densidad lejana entonces no tendría una interpretación de probabilidad.
Este tipo de teorías no lineales son tan difíciles de concebir, que Weinberg sugirió en los años 60 que la mecánica cuántica no tiene absolutamente ninguna deformación de ningún tipo que sea consistente con la no señalización. Aunque esta conjetura no está demostrada, que yo sepa, es ciertamente plausible, y no hay deformaciones no lineales que puedan servir de contraejemplo (el enlace a este artículo acaba de ser publicado mientras escribo por Oda).
Es un error pensar que existe alguna deformación no lineal de la ecuación de amplitud de Schrodinger. Tales modificaciones no existen, y casi seguramente no pueden existir. Si el mundo obedeciera a una ecuación de este tipo con una diminuta no linealidad, las diferentes ramas de Everett pasarían a interactuar, y seríamos capaces de ver los fantasmas de nuestros otros yoes, y otras tonterías. Esto descartaría cualquier forma de interpretación de la función de onda con variables ocultas, y casi con toda seguridad conduciría a violaciones de la no señalización.
ManiacZX
Puntos
1461
@Ron Maimon ha dado la respuesta canónica a esto: la función de onda son probabilidades, y para preservar las probabilidades hay que tener una ecuación lineal (de hecho, también un operador de evolución que preserva la norma).
Yo ofrezco otro punto de vista, al estilo de cómo pensaba Einstein sobre la relatividad, es decir, dos postulados. El postulado es que no es posible resolver problemas NP-completos en tiempo polinómico. Abraham y Lloyd mostró que si la mecánica cuántica fuera no lineal en absoluto, entonces esto sería posible.
Aaronson tiene un buen artículo, cuyo comienzo hace referencia a una amplia literatura sobre por qué la mecánica cuántica tiene que ser como es.
Ru887321
Puntos
106
Además del clásico artículo de Weinberg citado anteriormente, existe esto versión más corta y, a continuación, un seguimiento por parte de Peres 1989 sobre cómo viola la 2ª ley, por Gisin sobre cómo permite las comunicaciones superlumínicas, y por Polchinski sobre cómo permitiría un teléfono "Everett".
Más recientemente, existe este argumento matemático contra la QM no lineal de Kapustin .
shingara
Puntos
111
A los físicos les gusta la linealidad porque es más sencilla. Seguro que has oído el chiste del físico y el vaca esférica . Por suerte para nosotros, los fenómenos más interesantes de la naturaleza no son lineales.
Hay varias razones para considerar extensiones no lineales de la ecuación de Schrödinger, la más fundamental para mí es que la mecánica clásica lo requiere. De hecho, utilizando la formulación de Hamilton-Jacobi, podemos presentar la mecánica clásica en un formalismo ondulatorio
$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left(\frac{-\hbar^2 \nabla^2}{2m} + V - Q \right) \Psi$$
que es una ecuación no lineal ya que $Q=Q(\Psi)$ . Precisamente su no linealidad rompe el principio de superposición y permite la descripción de sistemas clásicos. No es extraño que la comunidad cuántica que trabaja en decoherencia y clasicidad utilice ecuaciones de Schrödinger no lineales de forma genérica
$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{G} \Psi$$
con el operador no lineal $\hat{G} = \hat{H} + \mathrm{nonlinear{-}corrections}$ . Cabe mencionar que los términos no lineales pueden ser elegidos para preservar la norma del vector de estado $||\Psi||^2$ . Es decir, la afirmación de que la linealidad es obligatoria para conservar las probabilidades es falsa.
Daniel Broekman
Puntos
1951
Aunque no es una respuesta muy satisfactoria (o informativa), las ecuaciones no lineales son un dolor de cabeza para resolver, así que preferimos evitarlas siempre que sea posible. Tiene sentido que las primeras ecuaciones desarrolladas para describir sistemas cuánticos sean lineales, simplemente porque son las más sencillas.
Dicho esto, no hay ninguna razón para que la "verdadera" teoría subyacente a la QM tenga que ser lineal. De hecho, exactamente por la razón que has señalado (es decir, que la relatividad general es no lineal), se cree comúnmente que necesitaremos algún tipo de teoría no lineal para explicar adecuadamente el universo en su nivel más básico.
