Que sea $k$ un campo algebraicamente cerrado y consideremos un conjunto algebraico proyectivo $V\subseteq\mathbb P^n_k$ con la topología inducida de Zariski. Si $U\subseteq V$ es abierto, al igual que el caso afín, las funciones regulares sobre $U$ son aquellas funciones que pueden escribirse localmente como $\frac{f}{g}$ donde $f,g\in \Gamma[V]_h$ están representados por polinomios homogéneos del mismo grado.
Si $V$ es un conjunto algebraico afín se puede demostrar que $\mathcal O_V(D(f))=\Gamma[V]_f$ para todos $f\in \Gamma[V]$ .
En el caso proyectivo con la gavilla de funciones regulares definida anteriormente, se puede demostrar que
$$\mathcal O_V(D(f))=\Gamma[V]_{(f)}$$
donde $\Gamma[V]_{(f)}:=\{\frac{g}{f^n}\,:\, g,f\;\textrm{are homogeneous and}\; deg(g)=deg(f^n)\}$ . Esta fórmula es verdadera si $deg(f)>0$ porque, por ejemplo, si $f=1$ entonces tendríamos $\mathcal O_V(D(1))=k$ por lo que las funciones regulares globales serían sólo funciones costantes en $V$ . Esto es un error porque si $V$ no es conectado tenemos otras funciones regulares, precisamente funciones que son costantes en cada componente conectado de $V$ .
Así que mi pregunta es: cuando uno prueba la relación $\mathcal O_V(D(f))=\Gamma[V]_{(f)}$ ¿Qué es lo que va mal en el caso? $deg(f)=0$ ?
