Primeros intervalos : $(1/3,1/2),(2/5,3/7),(7/17,5/12),(12/29,17/41),...$
La construcción general está relacionada con la secuencia de Farey.
Definir la suma de freshman $\frac{a}{b}\oplus \frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$ .
Esta suma satisface la propiedad de la mediana : $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{a}{b}\oplus \frac{c}{d}<\frac{c}{d}$ .
Entonces, los intervalos se construyen como la siguiente regla :
Comienza con $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$ . Luego, añade la (suma de los novatos) $\frac{1}{3}\oplus \frac{1}{2}=\frac{2}{5}$ que es la siguiente entrada de la secuencia entre $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$ .
Ahora la secuencia modificada de fracciones que aparecen es $\frac{1}{3}<\frac{2}{5}<\frac{1}{2}$ . Como sabemos, la siguiente entrada que aparece es $\frac{2}{5}\oplus\frac{1}{2}=\frac{3}{7}$ .(la suma de los dos de la izquierda tiene mayor denominador que esta suma, por lo que esta suma debe aparecer primero).
Así que la secuencia modificada en este paso es $\frac{1}{3}<\frac{2}{5}<\frac{3}{7}<\frac{1}{2}$ .
Obsérvese que el segundo intervalo $(\frac{2}{5},\frac{3}{7})$ se construye a partir de esta secuencia en este paso.
En el siguiente paso, la fracción añadida es $\frac{2}{5}\oplus\frac{3}{7}=\frac{5}{12}$ (Nótese que debemos encontrar un número entre el segundo intervalo $(\frac{2}{5},\frac{3}{7})$ ), y la secuencia modificada es $\frac{1}{3}<\frac{2}{5}<\frac{5}{12}<\frac{3}{7}<\frac{1}{2}$ .
El siguiente paso es añadir $\frac{2}{5}\oplus\frac{5}{12}=\frac{7}{17}$ (suma con menos denominador uno) a la seq modificada y obtenemos el tercer intervalo $(\frac{7}{17},\frac{5}{12})$ .
Ahora creo que podrás desarrollar todos los pasos siguientes con facilidad; en resumen, la elección de los términos de la secuencia corresponde a la suma del novato en la secuencia de Farey, y los intervalos construidos son los dos términos centrales de la secuencia modificada en cada paso par.
Como los intervalos se determinan en cada paso par, a partir de ahora describiré los patrones de la secuencia modificada en pasos pares.
Como se puede comprobar, la relación de orden entre los dos términos centrales se invierte a medida que se avanza 2 pasos, por lo que nuestro algoritmo es un cálculo de periodo 4, es decir, que comienza con $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$ , procedemos a la siguiente suma de 4 en un periodo:
Comienza en las dos fracciones más centrales, por ejemplo $A,B$ .
$\cdots < A<B<\cdots \Rightarrow \cdots < A < A\oplus B < B < \cdots$ $ \Rightarrow \cdots < A < A\oplus B <(A\oplus B)\oplus B < B < \cdots$ $\Rightarrow \cdots < A < A\oplus B <(A\oplus B )\oplus \left\{(A\oplus B)\oplus B\right\}<(A\oplus B)\oplus B < B < \cdots$ $\Rightarrow \cdots < A < A\oplus B<(A\oplus B)\oplus [(A\oplus B )\oplus \left\{(A\oplus B)\oplus B\right\}] <(A\oplus B )\oplus \left\{(A\oplus B)\oplus B\right\}<(A\oplus B)\oplus B < B < \cdots$
A continuación, vuelva a tomar los dos términos más centrales de la secuencia final e itere el algoritmo anterior.
Por lo tanto, el $(2n+1)$ es el intervalo $\left( (A\oplus B)\oplus [(A\oplus B )\oplus \left\{(A\oplus B)\oplus B\right\}] ,(A\oplus B )\oplus \left\{(A\oplus B)\oplus B\right\}\right)$ , donde $(A,B)$ es el $(2n-1)$ intervalo de tiempo.
Dejemos que los dos puntos finales del $(2n-1)$ th inverval $\frac{a_n}{c_n} < \frac{b_n}{d_n}$ .
Esta secuencia $a_n,b_n,c_n,d_n$ satisface la siguiente fórmula de recurrencia:
$a_{n+1}=3a_n+4b_n, b_{n+1}=2a_n+3b_n, c_{n+1}=3c_n+4d_n, d_{n+1}=2c_n+3d_n$
( $a_1=b_1=1,c_1=3,d_1=2$ )
$\therefore \begin{pmatrix} a_n&c_n \\ b_n & d_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3&4 \\ 2& 3 \end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix} a_1 &c_1 \\ b_1 & d_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3&4 \\ 2& 3 \end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
$\therefore a_n=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\xi_1^{n-1}-\frac{\sqrt{2}-1}{2}\xi_2^{n-1},b_n=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\xi_1^{n-1}+\frac{2-\sqrt{2}}{4}\xi_2^{n-1},c_n=\frac{\xi_1^n+\xi_2^n}{2},d_n=\frac{4+3\sqrt{2}}{4}\xi_1^{n-1}+\frac{4-3\sqrt{2}}{4}\xi_2^{n-1}$
( $\xi_1=3+2\sqrt{2},\xi_2=3-2\sqrt{2}$ )
$\therefore \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{c_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{b_n}{d_n}=\sqrt{2}-1$
P.D. Las fracciones en algún intervalo $(a,b)$ se encuentra entre $a$ y $b$ en una secuencia de Farey (al menos una de orden el denominador de esta fracción).
Y, si $\frac{p}{q}$ tiene vecinos $a,b$ en alguna secuencia de Farey, entonces $\frac{p}{q}=a\oplus b$ .
Dado que en cada paso encontramos los números que aparecen primero en una secuencia con orden lexicográfico, es obvio que si $\frac{p}{q}$ es la fracción que aparece por primera vez entre $a$ y $b$ entonces $\frac{p}{q}$ tiene vecinos $a,b$ en $q$ La secuencia de Farey.
Para encontrar las propiedades que he mencionado, esta página de wikipedia sería útil.
