Tengo una bicicleta con uno de esos Cerraduras en O en ella y con demasiada frecuencia, cuando aparco la moto y quiero cerrarla, el candado golpea uno de los radios de la llanta. Esto puede ser frustrante y me sorprende que ocurra tan a menudo. Quiero decir, los radios son tan finos y no son tantos en realidad así que uno pensaría que esto no debería ocurrir tan a menudo (como cada día o así). Así que cada vez que esto ocurría me recordaba a mí mismo que calcular la probabilidad de que esto ocurra . Acabo de hacerlo (después de un año) y ahora quiero saber qué opináis de mi cálculo, ¿Está bien?
Esto no es un ejemplo de libro de texto, así que no hay respuesta para buscar ni nada, por eso necesito tu opinión.
He modelado la situación como se muestra en la figura siguiente, donde he incluido un solo radio.
Que la cerradura O tenga un diámetro $d_{L}$ y los radios tienen un diámetro $d_S$ . Sea $R$ denotan el "radio" desde el centro de la rueda hasta el punto en el que entra y sale el cierre en O (es aproximadamente igual al radio de la llanta). Entonces, tenemos que los ángulos correspondientes vienen dados por $w_S=d_S/R$ y $w_L = d_L/R$ para que el radio golpee la cerradura (el disco sombreado en la figura de abajo) cuando $\theta$ está en el intervalo $[0, w_L+w_S]$ modulo $2\pi$ (Ver figura: $R$ es fijo, por lo que el punto $(R,\theta)$ está en un círculo). Entonces la probabilidad de acierto (rueda con un radio) viene dada por $$ P(1) = \frac{w_L+w_S}{2\pi}\times 1 = \frac{1}{2\pi R}(d_L+d_S).$$
Generalizar a $N$ radios igualmente espaciados obtenemos $$ P(N) =\begin{cases} \frac{N}{2\pi R}(d_L+d_S)& \text{for } N=0,1\dots\\1 & \text{for } N\geq M= \Big\lceil\frac{2\pi R}{d_L+d_S}\Big\rceil\end{cases}. $$
Ejemplo: introducir algunas cifras típicas; $N=36, R\approx 0.3$ m, $d_S\approx 2\times 10^{-3}$ m , $d_L\approx \times 10^{-2}$ m encontramos
$$P(36) \approx 0.23$$ lo que coincide con mi experiencia cotidiana de este problema.
Supongo que se podría obtener un valor (de Monte-Carlo) para $\pi$ ¿así?
¿Podría alguien decirme qué he hecho mal arriba? ¿O quizás derivar la expresión correcta para la probabilidad?
