Pregunta sobre la prueba en El axioma de la elección de Jech ( $AC_\omega$ )

Question

Estoy viendo lo siguiente en Jech's El axioma de la elección en la página 20:

2.4.1. Ejemplo: El axioma de elección contable implica que todo conjunto infinito tiene un subconjunto contable.

Prueba de ello. Sea $S$ sea un conjunto infinito. Consideremos todas las secuencias finitas uno a uno $$\langle a_0 , a_1 , \ldots , a_k \rangle$$ de elementos de $S$ . El axioma contable de la elección escoge una $k$ -para cada número natural; más exactamente: $$\mathscr{F} = \{ A_k : k \in \omega \},$$ donde $$A_k = \{ \langle a_0 , \ldots , a_k \rangle : a_0 , \ldots , a_k\text{ distinct elements of }S \},$$ y $\mathscr{F}$ tiene una función de elección: $f ( A_k ) \in A_k$ para todos $k$ . La unión de todas las secuencias finitas elegidas es obviamente contable.

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Y me pregunto si, en cambio, puedo probarlo de la siguiente manera:

Dejemos que $S$ sea un conjunto infinito, es decir $|S| \ge |\omega|$ . Según la definición de $|S| \ge |\omega|$ hay una inyección $f: \omega \hookrightarrow S$ . Entonces $f(\omega) \subseteq S$ da el resultado deseado.

Creo que sí, pero puede que se me escape algo. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Es probable que Jech esté utilizando la siguiente definición: Un conjunto $X$ es conjunto infinito si no es finito ( es decir no hay ningún número natural $n$ tal que $X$ está en correspondencia uno a uno con $\{ 0 , \ldots , n-1 \}$ ). (No puedo encontrar una declaración de esta definición en El axioma de la elección pero Jech lo utiliza en su Teoría de conjuntos tomo). En presencia de una cierta cantidad de elección, ser infinito equivale a $\aleph_0 \leq | X |$ pero esto no es una definición.

Un conjunto $X$ de manera que no haya ninguna inyección $\mathbb{N} \to X$ se llama Dedekind finito set . Es coherente con ZF+ $\neg$ AC que hay infinito Conjuntos finitos Dedekind. Lo que muestra este Ejemplo (una vez que se define la finitud Dedekind en la p.25) es que bajo el supuesto de Elección Contable todos los conjuntos finitos Dedekind son finitos.

Answer 2

Decimos que $S$ es infinito si $|S|\not<|\omega|.$ Sin algún principio de elección, no podemos concluir que todos los conjuntos infinitos admiten un subconjunto contablemente infinito, ya que es totalmente posible que $S$ y $\omega$ son de cardinalidad incomparable.

El principio de la mínima elección es suficiente para la tarea: " $\omega$ es de cardinalidad comparable con todos los conjuntos", un principio estrictamente más débil que $\text{AC}_\omega$ . Es decir, cualquier principio más fuerte hará el trabajo, pero los principios más débiles no podrán demostrar que los conjuntos infinitos tienen subconjuntos contablemente infinitos. Por otra parte, si todo conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito, entonces $\omega$ es de cardinalidad comparable con todos los conjuntos. Por lo tanto, el principio de elección antes mencionado es en realidad lógicamente equivalente al resultado que Jech demuestra con $\text{AC}_\omega$ .

Decimos que los conjuntos con un subconjunto contablemente infinito son "Dedekind-infinitos" o simplemente "D-infinitos". Los conjuntos D-infinitos son siempre infinitos, pero sin un principio de elección al menos tan fuerte como el mencionado anteriormente, puede haber conjuntos D-infinitos infinitos.

Para algunas afirmaciones equivalentes al principio de elección que he mencionado anteriormente, véase aquí .