Lucha por demostrar la desigualdad

Question

Me han dado a probar la siguiente desigualdad:

(La pista dada era no evaluar la integral)

\begin{equation*} \frac{1}{4} \leq \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{sin(x)}{x}dx\leq \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{equation*}

(Veo que $\frac{\sqrt{3}}{2}$ es $sin(\frac{\pi}{3})$ y he tratado de demostrarlo utilizando las propiedades comparativas de la Integral)

Answer 1

Como la función $\dfrac{\sin x}x$ disminuye en cada intervalo en el que $\sin x$ y $x$ tienen el mismo signo, podemos tener mejores límites: $$ \frac{\sqrt 3}4=\frac3\pi \sin\frac\pi3\Bigl(\frac\pi3-\frac\pi6\Bigr)\le\int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{3}}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm d\mkern 1mu x\le \frac6\pi \sin\frac\pi6\Bigl(\frac\pi3-\frac\pi6\Bigr)=\frac12 $$