El enfoque de Shoenfield sobre la metamatemática del forzamiento

Question

El enfoque de Cohen sobre la metamatemática del forzamiento (véase Kunen IV.5.1, nueva edición) implica hablar de subconjuntos finitos no especificados $\Omega, \Lambda \subset \text{ZFC}$ . Aparentemente, esto no es muy "elegante". Por esta razón, Kunen introduce el enfoque de Shoenfield. Es el siguiente:

El teorema metateórico IV.5.1 es:

Si $\text{ZFC} + \mathfrak{c} = \aleph_7 \vdash \Xi$ , donde $\Xi$ es un enunciado aritmético, entonces $\text{ZFC} \vdash \Xi$ .

Tengo varias preguntas:

1) ¿Para qué sirve introducir el símbolo $F$ ? ¿No podemos añadir a $\Sigma$ la frase " $C$ es contable"?

2) ¿Qué significa "explícitamente" (subrayado en rojo)? ¿Qué importancia tiene esto para el argumento?

3) ¿Por qué hablar de subconjuntos finitos no especificados $\Omega, \Lambda \subset \text{ZFC}$ ¿se considera poco "elegante"?

Answer 1

La idea de añadir este símbolo adicional se debe a Feferman. Tiene razón en que no necesitamos $F$ en general, para afirmar que tenemos un modelo transitivo contable.

Sin embargo, el objetivo es dar una definición explícita de un modelo, un forzamiento y un filtro genérico, lo que finalmente nos da una definición explícita de un modelo que satisface la teoría resultante. Para ello introducimos $F$ también, por lo que nos permitirá hacer cualquier construcción recursiva canónicamente. Por supuesto, podemos superar esto observando que, como $M$ satisface $V=L$ hay un ordenamiento canónico que podemos utilizar. Pero ya que hemos añadido símbolos de todos modos, también podríamos añadir $F$ para simplificar mucho estos argumentos.

La parte explícita puede verse como un proceso recursivo en el que producimos este modelo a partir de $M$ .

Por último, la falta de elegancia es bastante subjetiva, pero la idea es que en lugar de hacer esta inducción metateórica sobre fragmentos arbitrariamente grandes de $\sf ZFC$ Tenemos una prueba concreta de ello. Si te parece "mejor" o no, es tu elección, pero es natural estar de acuerdo con Kunen una vez que has usado el forzamiento unas cuantas veces y has escrito unas cuantas pruebas de forzamiento. Con el tiempo, incluso renuncias al modelo contable y simplemente fuerzas sobre el universo. Pero hasta que no tengas algo de práctica, es difícil explicar exactamente por qué.