Ajuste de una curva dados los puntos

Question

Mi configuración es la siguiente, tengo dos variables $N$ y $TTR$ y tengo estos puntos para cada variable:

$N$ = [35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50]

$TTR$ = [0.818, 0.812, 0.812, 0.804, 0.804, 0.798, 0.792, 0.793, 0.788, 0.784, 0.781, 0.778, 0.776, 0.771, 0.767, 0.767]

Quiero ajustar estos datos al siguiente modelo:

$$TTR=D/N \cdot \left( \sqrt{1 + 2N/D} - 1\right)$$

donde $D$ es el parámetro que quiero encontrar y que da el mejor ajuste.

Basado en el ejemplo que estoy tomando esto, D = 66 debe ser alrededor del parámetro "óptimo", trazando estos resultados que obtengo:

Estoy probando un enfoque de fuerza bruta, donde varío D de 1 a 70 (ya que D está "limitado" a este conjunto de valores), y encontrar el D con el menor error cuadrático medio, sin embargo obtengo $D_{optimal} = 28$ y el resultado se muestra en la siguiente figura:

que no es mejor que el valor óptimo real, al menos visualmente. ¿Cómo puedo solucionar este problema?

Answer 1

Hay muchas maneras de encontrar el valor óptimo. Una de ellas es expresar el valor $D$ , haciendo una distribución $D=D(TTR,N)$ y luego utilizar alguna otra técnica de promediación. Básicamente podrías tomar simplemente el valor medio, pero puedes hacerlo un poco mejor si observas mejor tus datos.

Empieza tú: $TTR=\frac{D}{N}(\sqrt{1+\frac{2N}{D}}-1)$ y después de un poco de trabajo tienes $$D(TTR,N)=-\frac{TTR^2\cdot N}{2(TTR-1)}$$

Si calculas esto para tus datos, habrás obtenido la distribución de los valores para la supuesta distribución. He obtenido 63,0875 para el valor medio, y con ello el error es inferior a 0,004 para cada punto.

Otra forma es utilizar la relación anterior y crear una dependencia lineal

$$TTR^2\cdot N=-D(TTR,N)\cdot(2(TTR-1))$$

Ahora puede utilizar varios métodos de interpolación lineal y obtener $D(TTR,N)$ . Hay otros métodos pero esto debería ayudar.

Hay que fijar el objetivo y especificar lo que se quiere minimizar y luego calcular la constante en función de ese requisito.