Diagonalización ortogonal simultánea

Question

Declaración

Dejemos que $A, B \in M_{n\times{}n}(\mathbb{R})$ sea simétrica y conmutativa, de manera que $AB=BA$ . Entonces $A$ y $B$ son simultáneamente ortonormalmente diagonalizables, es decir, existe $Q \in O(n)$ tal que $Q^{T}AQ$ y $Q^{T}BQ$ son diagonales.

Intento de prueba

Utilizando el hecho de que las matrices simétricas son ortonormalmente diagonalizables con respecto al producto estándar-escalar sabemos que tanto $A$ y $B$ son diagonalizables. Se puede demostrar (que no debería ser el problema en esta pregunta) que cada eigespacio $E_{\lambda,A}$ de un valor propio $\lambda$ de $A$ tiene una base $\mathcal{B}_{\lambda}$ formado por los vectores propios de $B$ . Dado que los eigenspaces de $B$ son ortogonales entre sí esta base se puede ortonormalizar mediante Gram-Schmidt.

Esto implica que todo eigespacio de $A$ tiene una base ortonormal formada por los vectores propios de $B$ . Porque todos los eigenspaces de $A$ son ortogonales podemos unir todas las bases y obtenemos una base ortonormal $\mathcal{C}$ formado por los vectores propios de $A$ y $B$ .

Dejemos que $Q\in M_{n\times{}n}(\mathbb{R})$ sea la matriz con esos vectores ortonormales como columnas. Como $Q^{-1}=Q^{T}$ obtenemos que ambos $Q^{T}AQ$ y $Q^{T}BQ$ son diagonales.

Pregunta

¿Prueba esto la afirmación? / ¿Es errónea mi afirmación? El paso del que no estoy seguro es la última frase del primer párrafo.

Answer 1

Dejemos que $spectrum(B)=(\lambda_i)$ . Existe una base ortonormal $\mathcal{B}$ en $\mathbb{R}$ que diagonaliza $B$ ; ya que $AB=BA$ los espacios $\ker(B-\lambda_i I_n)$ son $A$ -invariante. Entonces, en $\mathcal{B}$ , $A,B$ convertirse en $B'=diag(\mu_1 I_{i_1},\cdots,\mu_k I_{i_k})$ , donde el $(\mu_i)$ son los valores propios distintos, y $A'=diag(A_1,\cdots,A_k)$ donde el $(A_i)$ son simétricos.

Por último, diagonalizamos cada matriz $(A_i)$ en cada espacio $\ker(B-\mu_i I)$ .