¿Hay alguna manera de probar que $\sqrt {n-1} + \sqrt n + \sqrt {n+1}$ es irracional?

Question

Antes de que esto se marque como un duplicado sólo quiero decir que ya he leído un hilo similar donde el cartel original preguntaba cómo probarían que $\sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 7$ es un número irracional. He leído las respuestas de ese hilo y realmente no podría "aplicarlas"/utilizarlas en mi situación.

Ejercicio añadido como referencia. Se ha editado el post porque se refería a un caso particular (en el que se asignaba a n un valor como 6).

Intento reabrir el tema porque tengo más curiosidad por saber cómo resolverías este tipo de ejercicio en la forma general (como en la imagen).

Answer 1

Si $$r-\sqrt6=\sqrt5+\sqrt7,$$ donde $r$ es un número racional, obtenemos: $$r^2+6-2r\sqrt6=12+2\sqrt{35},$$ que da $$(r^2-6)^2=24r^2+8r\sqrt{210}+140$$ y como $r=0$ es imposible, obtenemos una contradicción: $$\sqrt{210}=\frac{r^4-36r^2-104}{8r}\in\mathbb Q.$$

Answer 2

Como señaló @lulu, si $r\in\Bbb Q$ entonces $\sqrt{30}+\sqrt{35}+\sqrt{42}\in\Bbb Q$ y, cuadrando de nuevo, $7\sqrt{30}+6\sqrt{35}+5\sqrt{42}\in\Bbb Q$ . Así que $\sqrt{42}-\sqrt{30}\in\Bbb R$ cuadrando de nuevo, $\sqrt{35}\in\Bbb Q$ una contradicción.

Answer 3

Supongamos que $a\sqrt {n-1}+b\sqrt n +c\sqrt {n+1}=r$ donde $a,b,c,r$ son racionales, entonces $$\left(r-b\sqrt n\right)^2=\left (a\sqrt {n-1}+c\sqrt {n+1}\right)^2$$ o $$r^2+b^2n-2br\sqrt n=a^2(n-1)+c^2(n+1)+2ac\sqrt{n^2-1}$$ o $$q\sqrt {n^2-1}=s+t\sqrt n$$

Donde $q,s,t\in \mathbb Q$

Cuadra de nuevo, y obtienes una expresión racional para $\sqrt n$ y esto sólo es posible si $n$ es un cuadrado.

Como señalé en los comentarios allí, cada raíz cuadrada adicional está obviamente contenida en la extensión de $\mathbb Q$ generado por las raíces cuadradas anteriores, o genera una extensión de orden $2$ . Estoy seguro de que esto se ha explicado en una respuesta anterior, pero no puedo encontrar el enlace. Esencialmente, esto codifica la teoría en un contexto general y reduce la necesidad de cálculos específicos.

Answer 4

Sólo mugre. Aísla los radicales uno a uno a un lado; cuadra y sigue para eliminar los radicales uno a uno.

Si $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 = r\in \mathbb Q$ entonces

$\sqrt 6 + \sqrt 7 = r- \sqrt 5$ entonces cuadra ambos lados

$6 + 7 + 2\sqrt{6*7} = r^2 - 2r \sqrt 5 + 5$ .

$2\sqrt {6*7} + 2r \sqrt 5= r^2+5-6 -7$ y luego elevar al cuadrado ambos lados

$2^2*6*7 + 2^2r^2*5 + 2*2*2r\sqrt{5*6*7} = (r^2 + 5 -6-7)^2$

Así, $\sqrt {5*6*7} = \frac {(r^2 + 5 -6-7)^2-2^2*6*7-2^2r^2*5}{2*2*2r} \in \mathbb Q$ .

Y como $5*6*7$ no es un cuadrado perfecto que es una contradicción.