Demostrar que $(a_n)$ es finalmente constante

Question

Dejemos que $(a_n)_{n \geq 1} \subset \mathbb{R}$ sea una secuencia monótona y convergente, tal que para toda secuencia monótona y convergente $(b_n)_{n \geq 1}$ tenemos que $$(a_n+b_n), \: (a_n-b_n), \: (a_nb_n)$$ también son monótonas y convergentes. Demostrar que $(a_n)$ es finalmente constante.

Intenté utilizar una prueba por contradicción. Digamos que $a_n$ es creciente y convergente a $\alpha$ . Si la afirmación no es cierta, entonces $\forall n \geq 1$ hay un número mínimo $k_n>n$ tal que $a_{k_n}>a_n$ y así $\alpha>a_{k_{n+1}}\geq a_{k_n}$ . Luego, intenté utilizar la propiedad dada, estableciendo $b_n=a_{k_n}$ y obtener una contradicción, pero no puedo verlo...

Answer 1

Dejemos que $b_n$ ser constante en algunos tramos. Si $(a_n)$ no es finalmente constante, existe una subsecuencia $(a_{k_m})$ que es estrictamente monótona. Para $k_{2m} \leqslant n < k_{2m+2}$ , dejemos que $b_n = a_{k_{2m+1}}$ . Entonces $(b_n)$ es monótona con el mismo límite que $(a_n)$ . La secuencia $(a_n - b_n)$ converge a $0$ y $a_{k_{2m+1}} - b_{k_{2m+1}} = 0$ para todos $m$ pero $a_{k_{2m}} - b_{k_{2m}} = a_{k_{2m}} - a_{k_{2m+1}} \neq 0$ Así que $(a_n - b_n)$ no es monótona.