¿Cuándo es estacionario un "proceso ARIMA"?

Question

Lo siento si esto es un duplicado, pero no puedo encontrar la respuesta a esto.

Si $Z_t$ es un proceso de ruido blanco y $X_t$ satisface

$$ \phi(B) X_t = \theta(B) Z_t $$

(donde $B$ es el operador de retraso), entonces cuando es $X_t$ ¿estacionario?

Si $\theta(z)$ y $\phi(z)$ no tienen raíces comunes y $\phi(z)$ tiene una raíz con $|z| = 1 $ entonces $X_t$ es necesariamente no estacionaria [Brockwell y Davis, Observación 3 en el Capítulo 3].

También sé que una media móvil de un proceso estacionario con coeficientes absolutamente sumables es también estacionaria [Brockwell y Davis, Proposición 3.1.2]. Por lo tanto, si $\phi(z)$ no tiene raíces en con $|z| \leq 1$ entonces la serie Maclaurin para $1/\phi(z)$ tiene un radio de convergencia mayor que 1. Por lo tanto $X_t$ es una media móvil de $\theta(B) Z_t$ con coeficientes absolutamente sumables, y por tanto estacionarios.

Por estacionariedad, me refiero a la estacionariedad débil (=segundo orden).

El profesor tiene la costumbre de poner esto en el final, así que me gustaría saber si hay un teorema general que lo regule.

De un documento anterior:

Answer 1

Casi tiene razón. La condición para la estacionariedad es que $\phi(z)$ no debe tener ninguna raíz en $|z|=1$ . (También existe el requisito de que $\phi(z)$ y $\theta(z)$ no debería tener ninguna raíz común, pero no se trata de la estacionariedad sino de la unicidad de la definición del proceso ARIMA).

El razonamiento es el mismo, es decir, la convergencia de las series de Laurent (has confundido Maclaurin con Laurent). Si $\phi(z)$ no tiene ninguna raíz en $|z|=1$ Esto significa que hay un anillo $r<|z|<R$ con $r<1<R$ en el que $\theta(z)/\phi(z)$ no tiene raíces y es analítica, por lo que tiene una representación en serie de Laurent:

$$\theta(z)/\phi(z)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}\psi_jz^j$$

y como es analítica en el anillo que incluye $|z|=1$ la serie $\sum_{j}\psi_j$ es absolutamente convergente, lo que hace que $\sum_j\psi_jZ_{t-j}$ convergente.

Nótese que la suma puede tener valores negativos de $j$ por lo que la solución ARMA resultante es $X_t$ depende de los valores futuros de $Z_t$ que no siempre es deseable. La solución estacionaria $X_t$ que no depende de los valores futuros de $Z_t$ se denomina causal.

La condición necesaria para la solución estacionaria $X_t$ para ser causal es que $\phi(z)$ es distinto de cero para $|z|\le 1$ .