Superficies 3D de género infinito

Question

¿Cómo se puede demostrar que el conjunto de superficies 3D conectadas con género infinito (hasta el homeomorfismo) es contablemente infinito?

Podríamos utilizar la prueba por contradicción o idear una forma de contarlos ¿Cuál sería una forma relativamente sencilla de demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\RR}{\mathbb R}$ $\newcommand{\HH}{\mathbb H}$ $\newcommand{\Ends}{\mathop{\rm Ends}}$

Dejemos que $F$ sea una superficie de género infinito, debidamente incrustada en $\RR^3$ . Entonces, hasta el homeomorfismo de las superficies (no los homeomorfismos de ambiente) existen incontables superficies de este tipo.

Prueba. Nótese que $\RR^3$ es homeomorfo a $\HH^3$ . Por lo tanto, podemos considerar que las superficies están debidamente incrustadas en $\HH^3$ donde hay más "espacio". Deje que $\HH^2$ sea un plano totalmente geodésico en $\HH^3$ . Sea $T = T_3$ sea una incrustación propia de la regularidad $3$ --Árbol de valores en $\HH^2$ . Tome un pequeño barrio de $T$ en $\HH^3$ para obtener una extraña incrustación de una bola de tres $B$ en $\HH^3$ .

Ahora, en cada vértice de $T$ perforar un pequeño tubo de $B$ y tomar el límite del cuerpo de mango de género infinito resultante para obtener una superficie de género infinito $F = F(T)$ , debidamente integrado en $\HH^3$ . Obsérvese que el espacio topológico $\Ends(F)$ El finaliza de $F$ son un invariante del tipo de homeomorfismo de $F$ . En este ejemplo, $\Ends(F)$ es homeomorfo al conjunto de Cantor.

Tomando un subárbol $T' \subset T$ podemos obtener otra superficie $F' = F(T')$ . Como antes, el $\Ends(F')$ es homeomorfo al límite de Gromov de $T'$ . Por último, dado que hay un número incontable de subconjuntos compactos no homólogos del conjunto de Cantor, encontramos el conjunto incontable necesario de superficies incrustadas no homólogas. QED

Esta respuesta fue motivada en parte por la respuesta de Agol a un pregunta anterior .