Solución de la serie de potencias de $y'-y=x^2$

Question

$y'-y=x^2$

Intento obtener una solución en serie de potencias.

$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n},y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}X^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}X^{n}$ .

$\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}X^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n}=X^{2}$

Entonces $ \space a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1} \space \forall n\neq 2$

$n=2 \implies 3a_3-a_2=1$

Entonces $a_1=a_0, a_2=\frac{a_0}{2}, a_3=\frac{2+a_0}{6}, a_4=\frac{2+a_0}{4!}, a_5=\frac{2+a_0}{24\cdot 4}$

Entonces la solución es $y=a_0+a_0x^1+\frac{a_0}{2}x^2+\frac{2+a_0}{6}x^3+\frac{2+a_0}{4!}x^4+\frac{2+a_0}{24\cdot 4}x^5 \cdots$

¿Es correcto? ¿Se supone que debo encontrar $a_0$ ?

Gracias.

Answer 1

Su solución equivale a $$ y - a_0 \left( 1 + x + \dfrac{x^2}{2} \right) = (2 + a_0) \left( \mathrm{e}^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2} \right) . $$ Fíjate que efectivamente te has equivocado. Usted ha $a_{n + 1} = \dfrac{a_n}{n + 1}$ Así que $a_5 = \dfrac{a_4}{5} = \dfrac{2 + a_0}{5!}$ , $a_6 = \dfrac{a_5}{6} = \dfrac{2 + a_0}{6!}$ y así sucesivamente.

Volviendo al tema, $$ y = \left( 2 + a_0 \right) \mathrm{e}^x - 2 \left(1 + x + \dfrac{x^2}{2} \right) . $$ Parece que cualquier $a_0$ encajará $y^\prime - y = x ^ 2$ . Así que descarta lo más importante $2$ y la solución es $y = a_0 \mathrm{e}^x - 2-2 x - x^2$ .

Answer 2

Maxima (versión Linux de Macsyma) da esta solución a su ecuación diferencial: $y(x) = C\exp(x)-(x^2+2x+2)$ . Se necesita un valor inicial para obtener la constante de integración $'C'$ . Entonces se puede proceder con la serie de potencias estándar para $\exp(x)$ .