Cómo demostrar que la secuencia no es monótona

Question

Que la secuencia $a_n=\frac{n^{30}}{2^n}$ .

Quiero comprobar si la secuencia es monótona o estrictamente monótona. Si no es monótona, quiero comprobar si es monótona a partir de un índice y en adelante. También si está acotada.

He pensado en considerar que la secuencia va en aumento.

Entonces

$$a_{n+1} \geq a_n \Rightarrow \frac{(n+1)^{30}}{2^{n+1}} \geq \frac{n^{30}}{2^n} \Rightarrow 2^n (n+1)^{30} \geq n^{30} 2^{n+1} \Rightarrow (n+1)^{30} \geq 2n^{30} \Rightarrow \left( \frac{n+1}{n}\right)^{30} \geq 2 \Rightarrow \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{30} \geq 2$$

¿Podemos encontrar a partir de esto una restricción para $n$ y luego concluir que la secuencia no es creciente? Y después lo mismo para demostrar que $a_n$ no está disminuyendo?

¿Hay alguna otra forma de demostrar que la secuencia no es monótona?

Answer 1

Desde $a_2>a_1$ la secuencia no es decreciente. Y como $a_1=\frac12$ y $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ la secuencia no es creciente.

Answer 2

Toma $f(x)=\frac{x^{30}}{2^x}$ en el intervalo $[1,+\infty)$

$$f'(x)=\frac{30x^{29}2^x-x^{30}2^x\ln{2}}{4^x}$$

Para $x>\frac{30}{\ln{2}}$ tenemos que $f'(x)<0$ así que $f$ es decreciente en $(\frac{30}{\ln{2}},+\infty)$ y aumentando en $[1,\frac{30}{\ln{2}}]$

Por lo tanto, la secuencia es estrictamente decreciente para cada $n \geq [\frac{30}{\ln{2}}]+1$

Así que la secuencia no es monótona en general, pero podemos decir que es ''eventualmente'' monótona