Suponga $\gcd(m,n)=1$. Entonces $d \mid (mn)$ si y solo si $d=ab$, donde $a \mid m$, $b \mid n$ y $\gcd(a,b)=1$

Question

Supongamos que $\gcd(m,n)=1$. Entonces $d\mid mn$ si y solo si $d=ab$, donde $a\mid m$, $b\mid n$ y $\gcd(a,b)=1$.

Entonces sé que $mx+ny=1$ para algunos enteros $x,y$. También que $m=aE$ y $n=bF$ para algunos enteros $E,F.

Si $d\mid mn$ entonces $mn=dQ$.

Entonces tienes que $mn=abEF$ por lo que $dQ=abEF$. No estoy seguro de cómo concluir que $Q=EF, así que obtienes $d=ab$. Ahora la dirección inversa parece más simple si $d=ab$ entonces tienes de inmediato que $d\mid mn$.

Answer 1

Pista $\ \underbrace{(d,m)}_{\large a}\underbrace{(d,n)}_{\large b} = (dd,dm,dn,mn) = d(d,\color{#c00}{m,n},mn/d) = d\ $ por $\ (\color{#c00}{m,n}) = 1$

Answer 2

Resuelve $(d,m)=dx+my$ y $(d,n)=du+nv$.

Usa estos para demostrar que si $d\mid mn$ entonces $d\mid (d,m)(d,n)$.

Pero como $(d,m)\mid d$ y $(d,n)\mid d$ y $((d,m),(d,n))=1$, tienes que $(d,m)(d,n)\mid d$.

(Esto último utiliza que si $a\mid d$ y $b\mid d$ y $(a,b)=1$ entonces $ab\mid d$.)

Entonces $d=\pm(d,m)(d,n)$.