Utilizar el cálculo estocástico (lema de Ito) para calcular la expectativa

Question

Calcular $E[\cos(X)e^X]$ , donde $X\sim N(0,\sigma^2)$ . Utilizar el cálculo estocástico en lugar de integrar con la densidad normal.

Durante la discusión con los amigos, creemos que debemos utilizar el movimiento browniano $B_t$ para representar a X y luego utilizar de alguna manera el lema de Ito para establecer una ecuación diferencial. Sin embargo, no entendemos bien el lema de Ito. Así que no pudimos hacerlo. Gracias.

Answer 1

Ok, entonces tu idea era correcta - deberías considerar $$ \mathsf E \left[\cos{B_t}\mathrm e^{B_t}\right] $$ en $t = \sigma^2$ desde $B_t\sim\mathcal N(0,t).$ ¿De qué trata el lema de Ito? Dada una función $f\in C^2$ sabes que $$ f(B_t) - f(B_0) = \frac12\int\limits_0^t f''(B_s)\,\mathrm d s+\int\limits_0^tf'(B_s)\mathrm dB_s, $$ por lo que aplicando la expectativa a ambos lados se obtiene $$ \mathsf E[f(B_t)] - f(0) = \frac12\int\limits_0^t\mathsf E[f''(B_s)]\mathrm ds \quad(\star) $$ que es una simple aplicación de la fórmula de Dynkin. Se cumple ya que $\mathsf E\int\limits_0^tf'(B_s)\mathrm dB_s = 0$ ya que el proceso bajo el signo de la expectativa es la integral de Ito que es siempre una martingala que parte de cero.

Centrémonos ahora en $f(x) = \cos x\cdot\mathrm e^x$ Así que $f(0) = 1$ y $f''(x) = \sin x\cdot\mathrm e^x$ . Si usted denota $m(t) = \mathsf E f(B_t)$ entonces de $(\star)$ tenemos $$ m(t) = 1-\int\limits_0^t \mathsf E[\sin B_s\cdot\mathrm e^{B_s}]\mathrm d s. $$ Denote $n(s) =E[\sin B_s\cdot\mathrm e^{B_s}] $ entonces $m(0) = 1$ y $$ m'(t) = -n(t). $$

Aplicando la fórmula de Ito a la función $\sin x\mathrm e^x$ obtenemos otra ecuación: $n(0) = 0$ y $$ n'(t) = m(t). $$

Podemos resolverlo por sustitución: $m'' = -n' = -m$ Así que $m''+m = 0$ (¿sabes cómo resolverlo?). La solución es $m(t) = \alpha \sin t+\beta\cos t$ . Basándonos en la condición inicial, encontramos: $\beta = 1$ y $\alpha = 0$ así que $$ m(t) = \cos t $$ y $$ \mathsf E[\cos X\mathrm e^X] = \cos \sigma^2. $$

Creo que también vale la pena decir que aquí tenemos un ejemplo de libro de texto en el que sólo dos pasos fueron suficientes para calcular la expectativa. Si la función $f$ es arbitraria, entonces hay que resolver una EDP $$ m_t = \frac12 m_{xx} $$ con $m(0,x) = f(x)$ Ver por ejemplo aquí . Sin embargo, la única forma de dar una solución a esta EDP puede ser $$ m(t,x) = \int\limits_\mathbb R f(y)\frac1{\sqrt{2\pi t}}\mathrm e^{-y^2/2t^2}\mathrm d y $$ que es exactamente una fórmula habitual para la expectativa de la función de una variable aleatoria gaussiana.