Encontrar la ecuación de un plano que pasa por el origen y que es paralelo a un plano dado y paralelo a una recta.

Question

Un plano que pasa por el origen es perpendicular al plano $2x-y-z=5$ y paralela a la línea que une los puntos $(1,2,3)$ y $(4,-1,2)$ . Encuentra la ecuación del plano.

Analizando este problema encontré que el vector normal del plano requerido es perpendicular a la recta paralela al plano. Y, el vector normal del plano dado es paralelo a la recta. Después de esto estoy atascado. ¿Puedo hacer un producto cruzado entre el vector formado por los dos puntos y el vector normal del plano dado?

Answer 1

Sabemos que la normal del plano requerido es perpendicular a ambos la normal del plano dado $(2,-1,-1)$ y el vector de dirección de la línea $(3,-3,-1)$ . En efecto, podemos realizar un producto cruzado para obtener la normal del plano deseado, ya que su resultado es perpendicular a sus dos entradas: $$(2,-1,-1)\times(3,-3,1)=\dots$$

Answer 2

También podrías encontrar la forma paramétrica del plano: $$x=\lambda\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix},\lambda,\mu\in\mathbb{R}$$ donde el primer vector de dirección ( el vector normal del plano) indica que este plano es perpendicular al dado y el segundo es el vector de dirección de la línea dada a la que es paralela y así como señala Parcly Taxel un vector normal del plano deseado viene dado por $$\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-5\\-3\end{pmatrix}$$ de lo que se obtiene la ecuación de coordenadas del plano: $$4x+5y+3z=0.$$