Suma parcial única de una serie de potencias de números primos finitos

Question

¿Hay alguna forma rápida y sencilla de probar o refutar que

$$ \sum_{\substack{k\in G_1\\ G_1 \subset\mathbb{N}_n}} p^k \neq \sum_{\substack{j\in G_2 \\ G_2 \subset(\mathbb{N}_n\setminus G_1)}} p^j $$

donde $p$ es un número primo y $\mathbb{N}_n = \{1, 2, 3,\ldots, n\}$ .

Answer 1

No se trata de series de potencias sino de sumas finitas.

Aquí estoy asumiendo $G_1$ y $G_2$ son subconjuntos disjuntos no vacíos de $\{1, \dots, n\}$ .

Dejemos que $k_0$ sea el elemento mínimo en $G_1 \cup G_2$ . Diga $k_0 \in G_2$ . Entonces $p^{k_0+1}$ divide la suma entre $G_1$ pero no el de $G_2$ Por lo tanto, las sumas son diferentes.

Answer 2

Suponiendo que $ G_1$ y $G_2$ no están ambos vacíos, dejemos que $m= \max G_1 \cup G_2$ . Si $m=1$ entonces una de las sumas es al menos $p$ que es al menos $2$ y seguimos la convención de que la suma vacía es $0$ . Si $ m>1$ entonces una de las sumas es al menos $$ A= p^m$$ y la otra suma es como máximo $$B=\sum_{j=1}^{j=m-1} p^j =(p^m-1)/(p-1).$$ Ahora $$ A>B$$ $$\text {iff } (p-1)p^m>p^m-1$$ $$\text{ iff } p^{m+1}-2 p^m>-1$$ $$\text{iff } p^2-2 p+1>1-p^{-(m-1)}$$ $$\text{ iff } (p-1)^2 > 1-p^{-(m-1)}$$ que se mantiene porque $p-1 \ge 1$ y $m-1>0$ Obsérvese que todo esto es válido si $p$ es cualquier número real no menor que $2$ .