Siempre existe una cadena finita y creciente de submódulos R de M isomórficos a R/P. ¿Podemos describir P?

Question

Así que he estado estudiando algo de álgebra conmutativa y me encontré con el siguiente teorema

Teorema : Sea R un anillo noetheriano. Sea $M$ sea un no trivial $R$ -módulo, finito sobre $R$ . Existe una cadena de $R$ -submódulos de $M$ $$ 0 \neq M_0 \subset M_1 \subset \cdots \subset M_n = M $$ tal que $ M_i / M_{i-1} \simeq R/ P_i $ para algunos $P_i \in\mathrm{Spec}(R).$

Ahora dejemos que $\mathcal{P} = \{ P_1,...,P_n \}$ con $P_i$ como se ha definido anteriormente. Entonces, poco después del teorema se produjo este corolario

Corolario : $\mathrm{Ass}_R (M) \subseteq \mathcal{P}$ .

Sin embargo, creo que los dos conjuntos no son siempre iguales. Mi pregunta es, suponiendo que exista $ P_i \notin \mathrm{Ass}_R (M) $ ¿Qué es eso? $P_i$ La relación con $M$ ? ¿Es posible que tal $P_i$ para existir? Quiero decir que no puede ser al azar, pero ¿cómo puedo encontrar una descripción de $\mathcal{P}$ ?

¿Podría alguien proporcionar una idea intuitiva y un libro en el que pueda encontrar esas cosas?

Answer 1

La cadena del teorema es un teorema de existencia y no hay unicidad. Como ejemplo, dejemos que $R=M=\mathbb{Z}$ . Entonces $\mathrm{Ass}(M)=\{0\}$ . Pero, podemos escribir la cadena $p\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$ para cualquier primo $p$ y tenemos $\mathcal{P}=\{0,p\mathbb{Z}\}$ . En particular, los primos que aparecen en $\mathcal{P}$ puede ser bastante arbitraria.