Relación áurea más 1

Question

En 'MindYourDecisions' había un interesante rompecabezas de Presh Talwalker sobre cómo encontrar el radio de un círculo que fuera cotangente a dos círculos más grandes.

https://www.youtube.com/watch?v=i0dZukEw1JY

Amplié el problema considerando la posibilidad de añadir un segundo círculo pequeño adyacente al círculo de radio 2, (ahora 16 en mi diagrama) y me pregunté cuál tendría que ser el radio de los dos círculos grandes para que los dos círculos pequeños tuvieran radios iguales. El diagrama adjunto lo aclara mejor.

Me sorprendió comprobar que la relación de los dos círculos debe ser igual a 2,61803398875 que es, por supuesto, la razón áurea + 1 Las rectas tangentes a los círculos mayores subtienden un ángulo de 53,130102 grados. La serie de círculos se puede extender indefinidamente hacia la derecha y dará pares de círculos de radios iguales. Véase la segunda imagen.

¿Se ha encontrado esto antes? He buscado en Internet sin encontrar nada.

Answer 1

No sé si esto se ha visto antes, aunque sospecho que es conocido. Aquí hay una prueba rápida.

Dejemos que $\bigcirc P$ , $\bigcirc Q$ , $\bigcirc R$ (de radios $p$ , $q$ , $r$ ) sean círculos sucesivamente tangentes con líneas tangentes externas comunes. Nótese que la similitud garantiza un factor de proporcionalidad común, $k$ , de tal manera que $$\frac{q}{p} = k = \frac{r}{q}$$

Ahora, supongamos que $\bigcirc P^\prime$ , tangente a $\bigcirc Q$ , $\bigcirc R$ y una de esas líneas, tiene radio $p$ . Por Teorema de Descartes para los "círculos que se besan" (uno de los cuales es una línea, por lo tanto un círculo de curvatura cero), tenemos $$\left(\;\frac1{p}+\frac1{q}+\frac1{r}\;\right)^2 = 2\left(\;\frac1{p^2}+\frac1{q^2}+\frac1{r^2}\;\right) \quad\to\quad \left(\;1+\frac1k+\frac1{k^2}\;\right)^2= 2\left(\;1+\frac1{k^2}+\frac1{k^4}\;\right)$$ para que

$$(k^2 - 3 k + 1) (k^2 + k + 1) = 0$$

Este último factor no tiene raíces reales, y el primero da $k = \frac12\left(3\pm\sqrt{5}\right) = 1 + \phi^{\pm 1}$ , donde $\phi$ es el Relación áurea . El menor de ellos resulta ser ajeno, por lo que concluimos $k = 1 + \phi$ . $\square$

Probablemente haya una demostración menos algebraica de la relación, pero no la veo en este momento.

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El hecho de que "la serie de círculos puede extenderse indefinidamente hacia la derecha y dará círculos de radios iguales" es una simple consecuencia de la semejanza.