Expectativa de un producto de una función indicadora y una función

Question

Tengo la siguiente expectativa

$E[\bar{X}^2 \cdot \mathbb{1}\{|\sqrt{n}\bar{X}|\geq 1.96\} ]$

donde $\bar{X}$ es la media muestral de $x_1, \cdots, x_n$ y $x_i\sim iid$

Mi duda es si esto equivale a

$E[\bar{X}^2]\cdot Pr(|\sqrt{n}\bar{X}|\geq 1.96)$

No estoy seguro de cómo explicar el hecho de que $\bar{X}$ y $\mathbb{1}\{|\sqrt{n}\bar{X}|\geq 1.96\}$ están correlacionados.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

En general, $\mathbb E\left[Y^2\mathbf 1\left\{Y\geqslant R\right\}\right]$ no es lo mismo que $\mathbb E\left[Y^2\right]\mathbf P\left\{Y\geqslant R\right\}$  para una variable aleatoria integrable cuadrada no negativa. Por ejemplo, cuando $R$ es grande, estamos seguros de que $\mathbb E\left[Y^2\right]\mathbf P\left\{Y\geqslant R\right\}$ decae al menos como $R^2$ donde $R$ va al infinito, pero el decaimiento de $\mathbb E\left[Y^2\mathbf 1\left\{Y\geqslant R\right\}\right]$ puede ser arbitrariamente lento. Por ejemplo, si elegimos $Y$ tal que $\mathbb E\left[Y^2\log\left(1+|Y|\right)\right]=+\infty$ entonces la decadencia no puede ser mejor que $ 1/\log R$ .