En una teoría formal como ZF (o ZFC), se puede decir que las clases propias no existen, ya que el lenguaje formal sólo puede hablar de conjuntos. Dentro de la teoría formal, se pueden demostrar sentencias que afirmen, por ejemplo, que no existe ningún conjunto universal. Pero si miramos "desde fuera" un modelo de ZF, podemos hablar de colecciones de objetos (por ejemplo, la colección de todos los conjuntos) que no corresponden a conjuntos en el modelo. Las llamamos clases para distinguir el lenguaje informal del formal.
Desde un punto de vista técnico, la situación no es más paradójica que, por ejemplo, una teoría formal de los números racionales en la que se puede demostrar que no existe la raíz cuadrada de 2, pero que se puede incrustar en una estructura más amplia donde $\sqrt{2}$ existe.
Pero es un poco inquietante si uno quiere pensar en la teoría de conjuntos como fundamento de las matemáticas, describiendo el universo matemático real. Parece raro poder dar ejemplos concretos de cosas que no existen. Con cosas cotidianas que no existen, como círculos con radio y perímetro enteros, no se puede, porque sencillamente no los hay. Me recuerda al gran maestro Cerebrón en "La cibernética" de Stanislaw Lem, que dio conferencias durante 47 años sobre los tres tipos de dragón, cada uno de los cuales no existe, pero de formas completamente diferentes.
Para entender la situación, creo que hay que ver el problema que ZF pretendía resolver. A finales del siglo XIX, Gottlob Frege ideó una teoría formal de conjuntos mucho más sencilla que resultó ser inconsistente debido a la paradoja de Russell del conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Restaurar la lógica de Frege resultó ser todo un reto. Russell sugirió una jerarquía de tipos, mientras que ZF va en otra dirección, exprimiendo la teoría de conjuntos en la lógica de primer orden. No estoy familiarizado con otras teorías, pero parece que, hagamos lo que hagamos, la paradoja de Rusell seguirá persiguiéndonos de un modo u otro. Por último, ya que lo estoy leyendo, no puedo resistirme a mencionar Logicomix .
